多方式交通条件下基于策略的公交定价方法

杜金宝，任华玲，高亮，四兵锋

(北京交通大学交通运输学院，北京 100044)

迅速推进的城市化以及大城市人口的急剧膨胀，给现有的交通基础设施带来了巨大的压力，很多城市特别是特大城市(如北京和上海)出现了严重的交通拥挤和阻塞现象。而公交交通系统作为土地资源利用最有效的方式，也是将来一个时期内解决城市交通问题的重要方法之一。因此，研究如何提高公共交通的服务水平和服务质量以提高公共交通吸引度，具有重要的理论和实践价值。本文探讨多方式交通条件下的公交票价优化问题，并建立了一个双层规划模型，该模型下层为基于公交策略的乘客分配模型，上层为同时考虑公交运营和公交公益性的票价优化问题。

对于公交客流分配问题，国内外学者做了大量的研究。Dial［1］提出了公交网络的组成要素是节点和路段，并将线路的发车频率转化为路段的发车频率。Chriqui 和Robilard［2］首先提出了吸引路线集的概念，制定了公交线路吸引集的选择规则。Nguyen 和Pallottino［3］等则引入了超级路径的概念，抓住了重叠公交线路现象，推动了公交客流分配理论的发展。本文所用到的基于策略的模型由Spicss 和Florian［4］进一步将文献［2］关于吸引线路集的概念发展为出行策略，其目标是使总的出行期望时间最小。此外，对公共交通方式的票价研究也取得了相应的成果。姚丽亚、关宏志［5］等人对公交的影响因素进行了研究，并强调了票价在吸引公交出行和提高公交比例的重要作用。叶丽［6］对在不同市场机制下的公交票价制定模式进行研究，考虑了社会福利最大化、企业盈亏平衡、缓解城市交通拥堵等情形。Whelan G、BatleyR 等［7］根据改进的经济需求模型对英国的铁路票价进行了经济评价，并从一些定价方案中得到了最优票价。王健、徐亚国等［8］则在考虑道路拥挤的前提下制定了公共交通的票价标准，提出了一种双层规划模型的公交票价模式。Dodgson［9］则考虑了城市公共交通的票价和服务水平变化的预期边际收益情况，并在此基础上构建了收益评价模型。Vanreeven［10］考虑了运输补贴因素，建立了公共交通的一般补贴模型，并得到票价和频率的最优组合。

上述研究集中于实现企业的经济最大化，较少从乘客的角度考虑出行费用问题，也鲜有考虑到公交的公益性属性。本文结合交通流的具体分配，基于乘客出行选择策略进行了定价，同时还考虑了票价浮动对乘客出行选择的影响，进而在公交需求变动和多方式交通条件下研究公交票价确定问题，优化目标不仅考虑了公交经营者的总收入，同时引进公交公益性属性。最后结合一个简单的算例，对模型及算法进行了验证。

1 基于策略的公交配流模型

1.1 公交网络及最优策略

为了更好的理解策略的概念，本文首先给出了一个简单的公交网络并对其进行描述。表示一个公交网络，I 为节点集，A 为公交路段;站点i∈I，Ai+(Ai-)表示离开(进入)节点i 的弧(路段);每段弧α∈A 用(ca，Ga)来表达，ca为弧的非负的旅行时间，Ga为等待时间的分布函数;O 为出行起点，D 为出行终点。

如图1 所示的公交网络，假设当乘客在站点等待时，其唯一知道的信息即为线路所开行的公交线路，且乘客在站时即决定是否搭乘某进站公交。因此，图中，从O 到D的某一策略可为:乘坐线路2 在Y 换乘后乘线路3 或4 到达D。最优策略就是使得乘客总的出行期望时间(包括等车、行车时间)最短。

图1 公交网络Fig.1 A transit network

1.2 基于策略的公交配流模型

为了便于配流，将图1 简化为图2 形式。其中，X2，X，Y 和Y3 分别为同一站点。括号内前者为等待时间，后者为发车频率。在网络图中，给每条换乘弧段赋予相应属性，其等待时间为0，频率为无穷大。

令gi，i∈I-{i}表示从点i 到终点r 的需求量。最优策略的目标就是使总的期望行程时间最短且等待时间只由发车频率来决定。因此，线性规划问题P1 即为基于最优策略的配流模型［4］:

通过线性规划问题P1，求得它的对偶问题P2，即从公交经营者的角度出发:

图2 简化后的公交网络Fig.2 A simplified transit network

模型中，gi表示的是节点i 处产生的客流量，ui表示从节点i 到终点r 的最小期望旅行时间。ca为弧a 上的行车时间，μa为其候车时间，fa则是弧a 上的发车频率。对于该模型的求解算法分为两个步骤:首先，找到从终点到所有节点的最优策略，计算出每个节点到终点的最优期望旅行时间;其次，从所有起点到终点按最优策略配流。

步骤1:最优策略

(1.1)初始化:令ui:=∞，i∈I-{r};ur:=0;fi:=0，i∈I;S:=A;:=Ø;

(1.2)搜索下一段弧:若S=Ø，停止;否则找到弧a=(i，j)∈S 满足uj+ca≤uj'+ca'，a'=(i'，j')∈S;S:=S-{a};

步骤2:根据最优策略分配流量

(2.1)初始化，令Vi:=gi，i∈I;

(2.2)给节点及弧分配流量:对每一条弧a，根据降序(与寻找最优策略时顺序相反)(uj+ca)，如果a∈，那么;否则va:=0。

在步骤(1.1)中的ui表示除了终点外到达终点的节点的期望出行时间，初始化为0;变量fi包含在节点的组合频率，初始化为0;S 表示没有检查的弧，表示最优策略中已经检查了的弧。注意到最开始有，fiui=0·∞，为了能够进行配流计算，令0·∞=1。在步骤2 中，根据最优策略将节点i 到目的地产生的流量gi分配到弧上。

2 基于策略的公交定价

2.1 弹性需求下基于策略的公交定价

基于策略配流方法考虑公交票价的制定，在建立多方式条件下的公交定价模型之前，先考虑只有公交一种方式而公交需求为弹性的情况。将票价和时间作为广义费用ca，本文中广义费用包含时间和票价，则广义费用为:

其中，t 表示期望旅行时间，p 为票价，α 和β 分别为二者的权重系数，表示在乘客的出行选择中相应的重要程度。

假定市场机制只有一家公交公司经营，则公交运营商的总收入F 可以表示为

2.2 多方式需求分离条件下的公交定价

多交通方式条件下乘客对广义出行费用的理解值是一个随机变量。因此，出行者的交通方式选择实际上是一个概率问题，即出行者以某种概率选择某种出行方式。根据Logit 分配模型，则可以得出如下形式的选择概率:

其中Pn表示出行者选择第n 种出行方式的概率，θ 为矫正参数，可通过统计回归方法进行估计［13］。根据Logit 分配模型我们可以得到公交出行的一个需求量，进而计算公交运营商的总收入。

此外，本文考虑了公交的公益性属性，即在公交收入尽量大的情形下，在多交通方式出行时，使其有较大的出行分担率。

此双层规划模型上层目标考虑了公交运营商的公交总收入F 及公交方式分担率W，φ 表示公益性属性的权重。下层根据Logit 模型在多方式下得到的公交需求量q，在此需求量下进行基于策略的公交配流。

3 算例分析

3.1 基于策略的定价结果及分析

图2 中弧里括号内为时间和频率，但算例里进行最优策略配流时用式(2.1)来作为费用进行基于策略的配流。计算公交运营商总收入的时候，从起点O 到达目的地D，有部分乘客进行了换乘，需要加上换乘后的票价收入。

在网络中采取垄断的市场机制，即乘客不选择公交，则会选择其他的交通方式。模型中，参数的取值反映了乘客出行对于时间和票价的看重程度。如果取值较大，那么票价所起的作用就微乎其微;反之，时间所起的作用就小。而δ 的大小则影响公交总收入达到最优的收敛程度的快慢。本算例α 取1，β 取10，δ 取0.05，总的OD 需求为1 000。根据计算，不同票价下的公交收入及乘客需求见图3。

图3 弹性需求下公交总收入的变化Fig.3 Total transit revenue variation for elastic requirements

从图3 可以看出，当票价较低时，乘客需求量较大，但公交运营商的收入也较低;随着票价的增高，需求有一定的减少，但是公交运营商的收入却在增大;当票价大于2 元时，收入递减。结果表明票价为2 元时，公交运营商取得最大收入。

3.2 多方式条件下的定价结果及分析

假设只存在两种交通方式，一为公交车，二为出租车，其网络如图2 所示。本算例两种方式总的乘客需求为1 000，参数α 取1，β 取0.4，θ 取1。根据多方式下定价模型(2.5)，如果知道公交和出租车出行的广义费用，就可得到公交出行的需求量及公交运营商的总收入。

根据式(2.1)将出租车的出行广义费用定义为时间和费用之和。在本网络中，从A 到B 无转车线路时公交车的行车时间为25 min，故不妨假设出租车的行车时间为10 min;而出租车和公交车存在一定的竞争，如果公交车的票价变化，那么出租车的收费也跟着有所变化，假设出租车的基本费用为公交车的5 倍。对于φ 不同的取值，得到不同的公交需求及不同的公益性值。根据以上数据，计算在不同的公交票价下公交运营商总收入及社会效益(只考虑公交总收入和公交分担率)，图4 反应多方式条件下的Logit 分离模型对公交总收入和公交分担率在不同公交票价下的变化。

由图4、5 可知，根据Logit 模型分配后，当不考虑公交的公益性的时候，公交运营商在票价为1.7元时得到了最大收入。当公交票价比较低时，乘客大部分会选择公交出行。随着公交票价的提高，虽然公交乘客需求有所降低，但是公交运营商的总收入却在增大。当过了最优值(总收入最大)之后，随着公交票价的升高，选择公交出行的乘客会越来越少，总收入随之减少。当φ 的取值逐渐增大，即更多的考虑公交的公益性所占的比重时，公交的总收入会有所降低。为了使得公交分担更多的乘客需求，需要减少票价。政府之所以要控制公交的票价上限，也就是考虑了公交的公益性。

4 结论

在多方式交通环境下，对于公交运营商如何定价才能取得最大收入是一个具有重要经济及学术意义的课题。公交票价的变化会引起整个公交系统甚至整个交通运输系统的变化。本文在考虑乘客需求分配的基础上，提出两种不同的方式去进行公交票价优化，并根据算例得到了公交运营商总收入最大时的最优票价。此外，文章还考虑到多方式竞争条件下公交的客流分配问题，并在考虑公交公益性的情况下进行了票价优化。合理的公交定价不仅可以使得公交运营商有较大收入，而且还能分担较多客流。

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［2］CHRIQUI C，ROBILLARD P.Common bus lines［J］.Transportation Science，1975，9(2):115 -121.

［3］NGUYEN S，PALLOTTINO S.Equilibrium traffic assignment for large scale networks ［J］.European Journal of Operation Research，1988，37(2):176 -186.

［4］SPIESS H，FLORIAN M.Optimal strategies:a new assignment model for transit networks［J］.Transportation Research Part B:Method ological，1989，23(2):83 -102.

［5］姚丽亚，关宏志，严海。公交票价比对公交结构的影响及力式选择模型［J］.北京工业大学学报，2007，33(8):834 -837.

［6］叶丽。城市公共交通票价模式研究［J］.科技资讯，2009(36):165 -166.

［7］WHELAN G，BATLEY R，SHIRES J，et a1.Optimal fares regulation for Britain's railways［J］.Transportation Research，2008，44(5):807 -819.

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［13］邵春福，张星臣等.交通规划原理［M］.北京:中国铁道出版社，2006.