临界线上的RIEMANN-ZETA函数的定量估计

范云艳

(华北水利水电学院，河南郑州450045)

RIEMANN-ZETA函数是数学核心问题之一，也是数论的一个重要研究内容，对其临界值的估计曾吸引了国内外众多知名数学家的兴趣.

1 研究背景

当Res=σ＞1时，函数定义为ζ(s)在除了s=1这个一阶简单极点外都是解析的，通过解析延拓可将式(1)推广至整个复平面s∈C.

RIEMANN-ZETA函数在整个分析学科乃至整个数学中扮演着重要的角色.最典型的例子就是关于整数中素数的分布情况及Zeta函数ζ(s)在0≤Res≤1区域中非平凡零点的分布情况.

对所有的t≠0均成立，这里Ο(·)是绝对常量.Littlewood在广义黎曼猜想下证明了Lindel9f猜想［4］.

文中主要讨论临界线Res=σ=1/2上ZETA函数ζ(s)的定量估计.当Res=σ ＞0，N≥1时，RIEMANN-ZETA函数ζ(s)可表述为

为了得到ζ(1/2+it)的上界估计，数学家们付出了大量的努力.Littlewood［5］是第一个给出这个估计非平凡上界的人，他证明了:对于t≥e，有

Van der Corput［6］给出了

Huxley［7］证明了

截止目前，最好的估计结果是Lindel9f猜想

在广义黎曼猜想下Littlewood给出了Lindel9f猜想的证明.

通过运用Euler-Maclaurin求和公式的简单形式 YuanyouF Cheng 和 Sindey W Graham［8］给出了下面的估计结果.

如果t≥0，有

如果t≥2，有

如果t≥2，N为正整数，有

由此，笔者通过应用Euler-Maclaurin求和公式，讨论函数的单调性及函数极值，得到了关于RIEMANN-ZETA函数在临界线Res=σ=1/2上ζ(1/2+it)的更好的上界估计结果.

2 主要结论

引理1 根据文献［1］，有 Euler-Maclaurin summation formula如下:

令函数f(x)在区间(a，b］上二阶连续可微.定义函数

有

定理1 如果t≥0，有

推论1 如果0≤t≤e，有

3 定理证明

3.1 定理1证明

证明:对于Res=σ ＞1，任意的0＜x＜1，X充分大，由引理1，得

令X→∞，有

当σ ＞1，s≠1时，上式可作为ζ(s)的一个定义.

定理1证毕.

3.2 推论1证明

证明:对于0≤t≤e，由定理1，知

两边对f(t)求导，令f'(t)=0，可以得到f(t)的极点为t≈1.323 和t=0，且在(0，1.323)区间为减函数，在(1.323，e)区间为增函数.所以 f(t)在t=0取得最大值，得到

推论1证毕.

4 结 语

［1］张顺燕，张南岳.Riemann的Zeta函数简介［J］.数学研究与评论，1984，4(3)，134 －136.

［2］ Lehmer D H.Extended computation of the Riemann zetafunction［J］.Mathematika，1956，3(2):102 －108.

［3］ Rosser J Barkley，Yohe J M，Schoenfeld Lowell.Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function(with discussion)［J］.Information Processing，1969，68(1):70 －76.

［4］ Anatolij A，Karatsuba.Basic analytic number theory［M］.New York:Springer-Verlag，1993.

［5］ Littlewood J E.Researches in the theory of the Riemann zeta function［J］.Proc London Math Soc，1992，20(3):22－28.

［6］ Graham S W，Kolesnik G.Van der Corput's method of exponentialsums［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1991.

［7］ Huxley M N.Exponential sums and the Riemann zeta function［J］.Proc.London Math Soc，1993，66(1):1 －40.

［8］ YuanyouF Cheng，Sidney W Graham.Explicit estimates for the Riemann zeta-function［J］.Rocky Mountain J Math 2004，34(4):1261 －1280.