方程思想与判别式法

●王剑明 (嘉兴市第一中学 浙江嘉兴 314050)

数学思想方法是数学的灵魂，数学学习的好坏主要在于对数学思想方法的掌握程度.方程思想是一种重要的数学思想，高考成绩的高低往往在于方程思想运用能力的强弱.所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式.用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用.本文主要是在方程思想的指导下利用判别式来处理有关不等(范围、最值等)的问题和若干解题方向不明的问题.

1 判别式法在不等式中的应用

例1 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 ( )

(2012年浙江省数学高考文科试题)

此题的背景是2011年浙江省数学高考文科第16题和理科第16题：

(1)若实数x，y满足 x2+y2+xy=1，则 x+y的最大值是_______;

(2)设 x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y 的最大值是_______.

当然这2道题有众多解法，但判别式法是最常规的方法，要熟练掌握.2012年继续对方程思想与判别式法进行考查.

解法1 令3x+4y=t，则3x=t-4y，代入 x+3y=5xy，得

将式(1)视为关于y的方程，方程有实数根，从而

由 x+3y=5xy，得

本题若利用基本不等式中的“逆代法”技巧，则更容易求解.

评注学生往往想不到这种特殊技巧，因此在方程思想指导下利用判别式不失为一种通法.尽管排除t≤有一定技巧，但对选择题而言，不难选C.

2 判别式法在数列中的应用

例2 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则 d 的取值范围是_______.

(2010年浙江省数学高考理科试题)

本题得分率仅为0.06，居22道高考试题的倒数第2位，完全出乎命题教师的意料.命题教师认为该题是送分题，因为学生在学习解析几何中，解了大量的直线与圆锥曲线关系的题目，都要构建方程、考虑判别式，应该熟悉掌握方程思想与判别式法. 学生答题后的反馈是:(1) 没有关于d 的不等式，要求d的范围，想不到往哪个方向思考;(2)化简后得到关于d的等式中含有另一个字母，其范围也没有限制，不知道接下来怎么办.还有少部分学生看到问题与平常见过的题型不一致，直接放弃.由此可见学生解题的障碍主要是“想不到”，这与命题教师的“送分”产生了巨大的反差.

解因为S5S6+15=0，所以

将式(2)视为关于a1的方程，方程有实数解，从而

评注运用方程思想处理问题，建立方程是关键.因为方程表达了未知与未知、未知与已知之间的一种等量关系，所以未知与已知之间所具有相对的依附关系是建立方程的基础.因此，在建立方程时，首先要明确条件中各已知量和未知量相互之间的依附关系，然后根据条件及公式、定理、性质等建立所需要的等式.

3 判别式法在平面向量中的应用

(2009年安徽省数学高考理科试题)

图1 图2

本题可利用向量加法运算构建方程，也可利用向量模的运算构建方程.

解法1 过点C作OA，OB的平行线，交0A，OB于点M，N，则四边形OMCN为平行四边形，从而

在△OMC中，∠OMC=60°，由余弦定理得

设t=x+y，联立方程x2+y2-xy=1，消去y后得

将式(3)视为关于x的方程，方程有实数解，从而

当t=2时，x=y=1，经检验满足题设.故x+y的最大值为2.

下与解法1相同(略).

解法3 如图2所示，以O为原点、直线OA为x轴建立直角坐标系，则

因为点C在圆上，所以

下与解法1相同(略).

评注本题构建方程的思路不少，关键在于利用条件.解法1是利用平行四边形法则;解法2是利用整体处理，然后两边平方;解法3利用坐标法.

4 判别式法在解三角形或三角变换中的应用

(2009年全国数学高考试题)

本题把函数化为关于tan2x的二次方程，通过二次方程有实根来求解.

视式(4)为关于tan2x的二次方程，由于tan2x有实数解，从而判别式Δ≥0，即

评注三角函数的最值是三角函数中最基本的内容，也是历年来数学高考的热点之一.求三角函数的最值没有通法，只能依据函数解析式的结构特征来确定.本题也可利用基本不等式法和导数法来求解.

5 判别式法在函数或方程中的应用

(2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题)

解易知函数的定义域为［-1，1］.令 y=f(x)，则

两边平方去分母，得

视式(5)为关于x的二次方程，方程在［-1，1］上有实数根，从而

评注这是一道求无理函数值域的题目，看上去并不复杂，但很容易出错.通过平方去掉根号，把无理函数转化为有理函数，再用判别式法求解，极容易遗漏考虑f(x)≥0.本题蕴含着诸多的数学思想方法，如三角代换法、导数法也是常用的解法.

6 判别式法在解析几何中的应用

例6 点P在直线l：y=x-1上，若存在过点P的直线交抛物线 y=x2于点 A，B，且|PA|=|AB|，则称点P为“好点”.下列结论中正确的是( )

A.直线l上的所有点都是“好点”

B.直线l上仅有有限个点是“好点”

C.直线l上的所有点都不是“好点”

D.直线l上有无穷多个点(不是所有的点)是“好点”

(2009年北京市数学高考理科试题)

本题是一个存在性的问题，存在0个、有限个、无穷多个、所有“好点”，可联想到用判别式法.

图3

解如图3所示，设A(m，n)，P(x，x-1)，则由 |PA|=|AB|及中点坐标公式可得

因为点A，B在y=x2上，所以

消去n，整理得

视式(6)为关于x的二次方程，方程有实数根，从而

恒成立.因此该方程恒有实数根，故选A.

评注本题作为当年北京高考数学理科选择压轴题，题目新颖，学生往往想不到构建方程，利用判别式求解.

总之，利用方程思想处理数学问题，就是从问题的数量关系入手，分析数学问题中的等量关系，从而建立方程(含有多个变量的等式可理解为方程，考虑方程有实数解的条件及解方程过程的合理性)，通过运用方程的性质(特别是判别式)去分析、转化问题，达到解决问题的目的.以不同的问题情境呈现的有关范围、最值、值域等问题，作为通性通法，应该优先考虑判别式法.而对于解题方向不明确的问题，如方程解的个数、“好点”的个数等非常规的问题，若能用方程的眼光来观察，则柳暗花明.方程思想和判别式方法的融会贯通，必将提升学生的数学解题能力.

［1］ 徐存旭.高考中的函数与方程思想［J］.中学教研(数学)，2012(2)：12-15.

［2］ 瞿国华.关于“判别式”的探究式学习［J］.数学通报，2007(9)：31-34.