一种基于万有引力的自生长神经网络算法

李满天，王春林，王鹏飞，查富生，郭 伟

（哈尔滨工业大学机器人技术与系统国家重点实验室，黑龙江 哈尔滨 150001）

0 引言

生物的节律性运动主要是由低级神经系统中的中枢模式发生器（CPG）产生的，可以在缺乏上层控制信号以及外界感知反馈的情况下保持稳定的振荡，具有结构简单和响应速度快等优点［1］，成为机器人仿生控制领域研究的一个热门方向。随着生物神经元自生长的数值计算方法的发展［2-5］，为通过模拟神经元自生长的方法建立CPG神经网络提供了可能。

1 生长锥运动方程

生物学上，首先神经元发育初期只有细小的突起，这些突起在胞体上通常是随机分布的，它们形成神经元的树突，并且在生长过程中由于类似正反馈的作用，通常它们当中有一根树突会发育成为轴突，其他的仍然保持树突，而能够主动与其他神经元建立连接关系的只有轴突，这一过程成为极性的建立；然后在神经元轴突的生长过程中，其由末端的生长锥控制的前进方向，生长锥通过对目标神经的感知，产生前突和回缩等操作实现前向运动，从而引导轴突向目标神经元的方向伸长［3］。

在数值仿真中，将生长锥简化为质量为m的质点，其极性的建立过程简化为对生长锥初始速度v0的设定，设其表示为v0=（v0x，v0y），由于极性建立具有随机性，因此，通常设v0x和v0y服从均匀随机分布，则初始的生长方向表示为：

而目标神经元对其产生的引导作用简化为外力F，生长锥的前向运动当作在该外力作用下的质点运动，其运动轨迹形成神经元的轴突，如图1所示。

设二维平面生长区域内有n个神经元，对第i个神经元的轴突而言，其所受到的合外力为：

Fji为第j个神经元对第i个生长锥的作用力，采用万有引力表示为［5］：

图1 轴突生长

mi为第i个生长锥的质量；Mj为第j个神经元的胞体质量；g为引力系数；rij为第i个生长锥与第j个神经元胞体的距离。

根据上述合外力方程，结合牛顿定理，得到生长锥在引力场中的基本运动方程为：

x，y分别为生长锥在XY坐标轴上的位移；Fi，Fj分别为合外力在XY方向上的分力。

对于一定的生长区域，为了确保生长锥能够始终在该区域内运动，在区域边界处增加局部约束，将生长锥与边界的接触当作弹性碰撞来处理［5］，表示为：

xmin，xmax，ymin和ymax分别为生长区域的边界值。

当生长锥与目标神经元之间距离接近到一个临界阈值时，此时认为轴突能够与其形成突触连接，可以停止运动，完成一次生长。

2 神经元连接算法

CPG神经网络通常都是由多个神经元之间相互连接而成，中间的神经元是建立合适连接路径的枢纽，而不同的连接路径，输出信号的关系就会不同，所以对轴突而言关键是选择连接的目标。

采用全局搜索算法来获得各个轴突的连接目标，通过对每个节点的子节点进行展开，直至搜索到目标节点，并且判断该条路径是否符合目标要求。搜索算法的流程如图2所示。

图2 搜索算法流程

3 神经元输出函数

由于神经网络具有高度的非线性特性，通常用非线性函数来描述神经元输入与输出的关系［6］，常用的有s型函数、双曲正切函数和高斯函数等。因此，采用s型函数来定义神经元的输出函数，表示为：

x为轴突长度。

4 仿真实验

在生物学上，四足动物常用的步态有 Walk步态、Pace步态和Gallop步态等，而在四足仿生机器人中，考虑到机器人的自稳定性，经常采用的步态包括Walk步态和Gallop步态。根据四足机器人步态的定义，其主要由髋关节上的信号控制，所以建立1，2，3和4号神经元分别与左前LF，右前RF，左后LH和右后RH髋关节相对应，其输出信号yi（i=1，2，3，4）控制髋关节的摆动，虚线框中的5至13号神经元为中间连接神经元，且其空间位置是固定的，生长区域为大小20×20的正方形，如图3所示。

用于描述CPG神经元信号的数学模型有多种，常见的是谐波信号，用van der Pol振子描述神经元上振荡信号［7］，表示为：

图3 神经网络仿真环境

ω0为周期信号的固有频率，取0.4π，其可以稳定地产生近似图，如图4所示。其中，连接曲线表示各个神经元的轴突，从图4中可以看出，4个输出神经元之间通过中间神经元都形成了有效的连接路径，为神经元上振荡信号的传导奠定了基础。令1号神经元信号的相位为基准，设为零，分别计算2，3，4号输出神经元相对1号的相位差，则 Walk和Gallop步态的期望相位差分别为［180，90，270］、［0，180，180］，经过仿真得到的实际相位差如表1所示。与期望的相位差相比，仿真得到结果的实际误差在±5°以内，能够满足实际要求。

表1 相位差仿真结果 （°）

图4 神经网络仿真结果

将van der Pol振子带入神经元后得到各个神经元上的振荡信号，如图5所示。从图5中可以看出，上述2种步态下1～2，1～3和1～4神经元之间振荡信号的相位差满足目标要求，且振荡稳定。

5 结束语

图5 神经信号仿真结果

为了探索新的CPG神经网络算法，从生物学角度出发，基于万有引力方程得到生长锥的运动规律，实现神经元轴突的生长，并且结合全局搜索算法，以四足机器人为对象，设计了其步态控制网络，通过数值仿真实验，生长出了Walk步态和Gallop步态对应的CPG神经网络，仿真结果满足目标要求，验证了该方法的可行性。

［1］Ijspeert A J.Central pattern generators for locomotion control in animals and robots：a review［J］.Neural Networks，2008，21（4）：642-653.

［2］Van Ooyen A.Using theoretical models to analyse neural development［J］.Nature Reviews Neuroscience，2011，12（6）：311-326.

［3］Hentschel H G E，Van Ooyen A.Models of axon guidance and bundling during development［J］.Proceedings of the Royal Society of London Series B：Biological Sciences，1999，266（1434）：2231-2238.

［4］Zubler F，Douglas R.A framework for modeling the growth and development of neurons and networks［J］.Frontiers in Computational Neuroscience，2009，3：1-16.

［5］李爱正.基于自生长的CPG局部网络研究［D］.哈尔滨：哈尔滨工业大学，2012.

［6］吕 进，郭 晨.多特性仿生统一神经元模型［J］.大连海事大学学报，2008，34（1）：37-40.

［7］于海涛，查富生，郭 伟，等.非线性振子的CPG步态控制方法研究［J］.机械与电子，2009，（10）：48-51.