迈克耳孙干涉光程差分析模型探讨

汪仕元 ，朱 俊 ，穆万军 ，李春秀 ，谢程锋 ，王海燕，陈雪芹，樊 婷，夏 莹，邹宜君，朱传清

（四川大学a.物理学院；b.材料学院；c.电气信息学院，四川 成都 610064）

1 引言

迈克耳孙干涉实验是一个著名的物理实验，深受物理学界教师和学生喜爱.随着迈克耳孙干涉的用途不断扩展［1-3］，许多迈克耳孙干涉实验现象和问题越来越深入地引起关注和探讨［4-5］.本文构建了数学模型来探讨迈克耳孙干涉的光程差分析问题.

迈克耳孙干涉图像通常分为等倾干涉和等厚干涉.现有的光程差公式只能分别解释等倾干涉和等厚干涉形成机理，但不能计算等厚干涉的光程差，也不能解释两者的联系.在操作实践上，如果不能正确引导学生从已有的等倾干涉过渡到等厚干涉，甚至会误导学生的理解和操作.例如，现有的观念是等倾干涉对应的实镜和虚镜完全平行，镜面之间的夹角为0°，而等厚干涉图象对应的实镜和虚镜不完全平行，镜面间有微小的夹角，要从等倾干涉过渡到等厚干涉，首先就要改变实镜和虚镜之间平行状态使两镜之间产生微小的夹角，但这样操作的结果是看不到干涉图象.这个事实告诉我们现有的迈克耳孙干涉理论还存在着不完善之处.

2 迈克耳孙干涉中光程差公式的推导

设定迈克耳孙干涉光路中实镜和虚镜相互平行，间距为d，如图1所示.

图1 实镜和虚镜平行的光程差分析图

一束光以角度P 入射，分别在实镜的A 点和虚镜的B 点发生反射，则光程差为［6］

等倾干涉定域在无穷远处，要通过透镜才能看到.但实际上在没有加入透镜的观察屏上是可以看到干涉图像的.为了解释这种干涉现象，文献［7］提出了不定域干涉光程差分析模型（如图2所示）.

从图2中可以看到，光源S发出的光，经实镜和虚镜反光形成的薄膜干涉相当于虚光源S1和S2发出光的干涉.其光程差计算如下：

按幂级数展开得：

当d≪H 时

图2 实镜和虚镜平行的不定域干涉光程差分析图

在假定实镜和虚镜平行的条件下，无论是定域在无穷远还是不定域的干涉，都可以推导出相同的光程差公式.

该光程差公式表明，在d 一定的条件下，光程差只与角度P 有关，因而干涉图像是明暗相间的同心圆，这就是等倾干涉.

该公式还表明，相邻两干涉圆环的光程差等于λ，即

当d 较小时，cos P2-cos P1就要大，也就是说，实镜和虚镜之间距离较小时，干涉圆环间距就稀疏；反之，当d 较大时，干涉圆环就密集.

根据以上这些讨论可以清楚地看到，该光程差公式可以圆满地解释迈克耳孙干涉的等倾干涉现象.

一般资料直接给出了等厚干涉的图像，定性地指出了等厚干涉的成因在于实镜和虚镜不完全平行，但没有给出相应的理论解释和光程差公式，也没有涉及等倾干涉和等厚干涉的联系，常常使读者把等倾干涉和等厚干涉视为2个不相干的状态，因而出现了前面所述的从等倾干涉实验到等厚干涉实验要特意给两镜之间调节出夹角的错误操作.

本文试图建立基于迈克耳孙干涉的光程差分析模型，从理论上探讨迈克耳孙等倾干涉和等厚干涉的光程差计算方法，并且探讨等倾干涉和等厚干涉之间的联系.

应该承认，设定实镜和虚镜完全平行是有条件的，即两镜平行是相对的，它们之间总是存在一定夹角的.在此过一个镜面边缘作另一镜面的平行平面，如图3所示.

图3 实镜和虚镜之间有一极小夹角Q

在视场中过实镜D 处作虚镜的平行平面，把有一定倾斜夹角的两镜之间的空气层分为两面平行部分和斜面部分，其中的斜面部分可以视为劈尖状.

在两面平行部分，光程差和图1的分析相同，即在四边形ABCF 中，光程差为

在劈尖状的斜面部分，光程差可以根据图4的几何形状来分析计算，设劈尖夹角为Q，因为Q是一个极小角度，所以，以类似两面平行的空气膜来计算四边形IOGJ 的光程差，其中IO约等于劈尖部分的入射光程，OG 约等于劈尖部分的出射光程，斜面部分的光程差为

图4 斜面部分的光程差分析

考虑到常规观察视场中角度P 很小，（PQ）更小，cos（P-Q）≈1，则斜面部分的光程差为

从图3和图4可以看出，以角度P 入射的光束分别经实镜和虚镜反射后，总光程差为

公式中前一项是等倾干涉的光程差公式，后一项是实镜和虚镜不平行（夹角为Q）所引起附加光程差，附加光程差一般很小，只有在d=0或d极小时才会对干涉产生明显效果.

这就是迈克耳孙干涉光程差分析模型和根据该模型推导出的光程差计算公式.

3 镜面相对位置、光程差和干涉图像的关系

根据上述迈克耳孙干涉光程差分析模型和相应的光程差公式来讨论在迈克耳孙干涉实验中镜面相对位置、光程差和干涉图像的关系.

3.1 d较大

当d 较大时，因为劈尖部分光程差2LQ 很小，所以

两镜面之间不平行所引起的附加光程差可以忽略不计，对应的实镜和虚镜的位置关系可以视为相互平行，如图5所示.此时能看到的就是等倾干涉图像.

3.2 d=0

图5 两镜相距较大时的等倾干涉图像

当d=0时，两镜面在视场内相交，形成以交棱为顶角的劈尖，如图6所示，干涉图像就是平行于交棱的直线，这就是等厚干涉.等厚干涉条纹的疏密程度与两镜面之间的夹角Q 有关，Q 越小，两相邻暗条纹的间距就越大，反之亦然.这就清楚准确地解释了等厚干涉形成的机理和平行直条纹疏密的形成的原因.

图6 两镜在视场内相交时的等厚干涉图像

3.3 d较小

当d 极小时，

两镜面在视场外不远处相交，平行部分和劈尖部分的空气膜构成光程差大小相当，如图7所示，干涉图像就是等倾干涉的同心圆环和等厚干涉直线的合成——曲线.

图7 两镜相交在视场外不远处的干涉图像

现在一般把d 较大时的干涉现象叫做等倾干涉，把d=0 或极小时的干涉现象叫做等厚干涉.实际上如图7所示的干涉现象是等倾干涉和等厚干涉的中间过渡状态.这对于实验者从理论上理解迈克耳孙干涉的实质和实践上指导操作过程是非常有益处的.

4 结束语

根据迈克耳孙干涉中实镜和虚镜不可能绝对平行的客观实际建立了迈克耳孙干涉光程差分析模型，在该模型基础上推导出了相应的迈克耳孙干涉的光程差公式.迈克耳孙干涉光程差分析模型和光程差公式可以很好地解释迈克耳孙干涉的各种实验现象.迈克耳孙干涉光程差分析模型和光程差公式可以为实验者提供非常清晰完整的理论指导.

［1］徐文韬，李全伟，李吉骜，等.用迈克耳孙干涉仪测量厚透明材料折射率［J］.物理实验，2012，32（6）：35.

［2］王小怀，李卓凡，陈怀.迈克耳孙干涉仪应用功能的扩展［J］.物理实验，2012，32（3）：22.

［3］陈玉林，马龙，顾斌，等.基于线阵CCD 的迈克耳孙干涉仪条纹计数器［J］.物理实验，2012，32（2）：21.

［4］魏茂金，张朝清，黄思俞.迈克耳孙干涉仪测量介质板折射率的问题研究［J］.物理实验，2010，30（6）：28-31.

［5］柯红卫，张宝颖，杨嘉，等.迈克耳孙干涉仪产生特殊干涉条纹的原因［J］.物理实验，2007，27（1）：34.

［6］黄建群，胡险峰，雍志华.大学物理实验［M］.成都：四川大学出版社，2005：7-8.

［7］王植恒，何原，朱俊.大学物理实验［M］.北京：高等教育出版社，2008：94.