基于摩尔—库仑理论顶力计算公式推导

吴 军 黄满虎 马孝春 雷海波

(1.中国地质大学，北京 100083;2.北京隆科兴非开挖工程有限公司，北京 100142)

随着顶管工程向大口径、长距离发展，顶管工程设计中顶力值的给出也越发重要，适当的顶力是顶进施工顺利进行的必备条件。而在实际工程中由于地层条件、注浆条件及施工操作的不尽相同，为顶力的计算和选择造成了很大的困难。因此，有必要对贴近施工实际的顶力计算方法进行探究。

1 基于摩尔—库仑理论模型迎面顶力算法

顶管的迎面顶力是指在顶管施工顶进过程中，由于克服顶管机前方外径正对范围内的土体的阻力。即在顶进中顶管机头正前方土体形成的被动土压力大小。本推导公式主要依据朗肯土压力理论，并假设作用于顶管上覆土层的荷载为连续均布荷载。具体推导过程如下。

1.1 建立模型

假设上覆土层的厚度为H，顶管前方为一与顶管机外径等直径的土柱。忽略顶管机切削面与前方土柱截面直径的夹角，即认为是平行紧贴的，原理如图1，图2所示。

图1 顶管机顶进示意图

图2 计算原理图

1.2 被动土压力计算

首先由摩尔—库仑破坏准则，即土体达到极限平衡状态的条件，可以得到土体破坏时的大主应力表达式如下［1］:

其中，σ1为土体所受大主应力，kN/m2;σ3为土体所受小主应力，kN/m2;φ为土的内摩擦角，(°);c为土的粘聚力，kN/m2。

将Pp=σ1，σ3=γz代入极限平衡条件式(1)可得粘性土体作用于顶管机刀盘上的被动土压力强度Pp:

其中，γ为土的重度，在地下水位下取有效重度，kN/m3;z为管道截面中心到微分条的高度，m;Pp为被动土压力，kN/m2;Kp为被动土压力系数，Kp=tan2(45°+φ/2)。

1.3 迎面顶力计算

由式(2)可知，粘性土的被动土压力由两部分组成，叠加后，其压力强度Pp沿墙高呈梯形分布，如图2所示。由于顶管机顶进主要需要克服刀盘正前方土体的被动土压力，因此可以得到迎面顶力NF的计算公式为:

其中，p为一定深度时的被动土压力，kN/m2;dA为顶管机刀盘横向微分条的面积，m2。

由图2计算模型可知:

其中，R为顶管机刀盘外半径，m。

由于顶管机顶进时上部有一定覆土厚度，设为H，土层上方为连续的局部荷载q，则可以得到距积分原点为z时的被动土压力值p:

其中，q为土体均布荷载，kPa;假定均布荷载为土柱上方土的垂直荷载与地面的动荷载之和 q=p1+ωe［2］，其中，p1为活荷载，为土柱上方的垂直荷载，kPa，ωe=(γ －2c/Be)Ce。

将式(4)和式(5)代入式(3)中积分简化可以得到总顶力NF为:

特别是对于无粘性土层，即c=0时，其迎面顶力为:

2 侧摩阻力计算公式

顶管施工中的侧摩阻力主要是由管道与土体之间的摩擦力组成，然而由于受土层地质情况、泥浆性能及是否注浆、开挖条件(超挖、中止、管道纠偏和润滑等)等影响严重，因此难以确定。本文分别采用余彬泉等［2］研究的理论侧摩阻力公式f1以及K.Shou等［3］通过工程实例总结出在直线顶进中侧摩阻力f2进行计算:

其中，D为管道外径，m;W为单位管道重力，kN/m;μ为管与土之间的摩擦系数，μ=tanφ;L为顶进长度，m;c为管与土之间的粘着力，kPa。

3 总顶力计算公式

由式(7)～式(9)可分别得到总顶力F0的理论计算公式和经验公式，分别为:

4 工程实例对比分析

4.1 工程参数确定

某工程砂性土根据标贯资料N平均值为7，依据《工程地质手册》标贯值查得砂性土的内摩擦角为29°。砂性土的重度为18 kN/m3，土的内聚力为11 kPa，土与管子的粘着力为11 kPa，覆土深度为6 m;管外径1.2 m，管壁厚度为0.12 m，管子的重力18 kN/m，推进长度100 m，地面的动荷载p1=15 kPa。

4.2 计算结果统计

各公式计算结果见表1。

表1 各公式计算结果统计表

4.3 计算方法比较分析

由本工程实例可以看出，本文推导的两个计算公式与余彬泉法给出的计算方法比较，理论算法结果小于余彬泉法，而经验算法结果大于余彬泉法。分析其主要原因有以下几点:

1)本文理论算法是从迎面与管土摩擦两方面的阻力入手考虑的，而余彬泉法主要是从侧摩阻力及初始推力入手，而且在计算侧摩阻力过程中考虑了内摩擦因素及管土之间的粘着作用，这一点上略有重复之处，从而导致其计算结果大于本文理论算法。

2)经验算法结果较大主要是因为其考虑侧摩阻力时加入了被动土压力系数，即考虑了管壁堆土的一个挤压及剪切作用，从而使得其计算结果偏大。

3)经计算本文经验及理论公式的平均值大小为17 873.5 kN，其值与余彬泉法计算结果十分接近，而且略小于余彬泉法。如实际设计中采用本文公式的平均值作为顶力确定方法，既可以剔除重叠计算部分，又能较为精确得到顶力的计算公式，不失为两全其美之法。

5 结语

本文公式与现有公式相比，理论公式较现有公式精确，从迎面和侧摩阻力两个方面讨论，剔除了侧摩阻力计算过程的重叠部分。经验公式计算较为保守，对土管作用及土体挤压等方面都作了考虑。综上，建议在选择顶力时取本文理论及经验公式的平均值作为设计顶力。

［1］ 陈仲颐，周景星，王洪瑾，等.土力学［M］.北京:清华大学出版社，2011.

［2］ 余彬泉，陈传灿.顶管施工技术［M］.北京:人民交通出版社，1998:187-190.

［3］ K.Shou，J.Yen，M.Liu.On the frictional property of lubricants and its impact on jacking force and soil-pipe interaction of pipejacking［J］.Tunnelling and Underground Space Technology，2010(25):469-477.