右-ewlpp半群
2013-08-16王春茹任学明吕敏红
王春茹,任学明,吕敏红
(1.西安建筑科技大学华清学院,陕西西安710043;2.西安建筑科技大学数学系,陕西西安710055;3.西安航空学院,陕西西安710077)
1 准备知识
作为广义正则半群的推广,1997年,文献[1]介绍了广义Green**-关系,如果 S是半群,对于任意a,bS,(a,b)L**,当且仅当对于任意x,yS1,(ax,ay)R⇔(bx,by)R,其中,R是通常Green-关系中的R .而且文献[1]证明了L**是半群S上的右同余.根据文献[2],我们给出wlpp半群的定义:
定义1[2]半群S称为wlpp半群,如果满足:
(i)S的每一个R**类至少包含S中的一个幂等元.
定义2[2]设S是wlpp半群,如果对于任意x,yS1,x≠1 有 xey=xye,其中 eE(S),则S称为右-e wlpp半群.
引理1 如果半群S是右-e wlpp半群,则S的每一个R**类包含唯一一个幂等元.
半群S中的R*a*-类中的唯一幂等元记为a†.因为S是右-e wlpp半群,所以对任意aS,有 aa†=a=a†a.
引理2 如果S是右-e wlpp半群,则R**是S上的一个同余.
证明 显然 R**是自反的、对称的.先证明R**是传递的.
再证明 R**是相容的.设(a,b)R**,a,bS,则 a†=b†.如果对任意 x,yS1,cS,有(xac,yac)L.因为(c,c†)R**,则(xac†,yac†)=(xa†ac†,ya†ac†)L,即(xa†c†a,ya†c†a)L.又因为(a,b)R**,所以 a†=b†,进而(xa†c†b,ya†c†b)L,因此(xb†c†b,yb†c†b)=(xb†bc†,yb†bc†),根据(c,c†)R**,可得(xbc,ybc)L.
引理3 设S是一个右-e wlpp半群,对于任意a,bS,有(ab)†=a†b†.
定义3 令S为一个右-e wlpp半群,在S上定义关系 ρ:对于任意 a,bS,aρb 当且仅当存在 fE(b†)使得 a=fb.
引理4 令S为右-e wlpp半群,则上述的关系ρ是S上的同余.
其次证明 ρ 是传递关系.假设 aρb,bρc,则E(a†)=E(b†)=E(c†)且 a=fb,b=gc(f,gE(b†)(=E(c†)).因为 E(b†)是一个左零带,因此a=fb=f(gc)=fc.所以,ρ是S上的等价关系.
引理5 令S是一个右-e wlpp半群,如果对任意 a,bS,aL**b,则 aρL**s/ρbρ.
证明 如果 aR**b,则对任意 x,yS1,xρ,yρ(S/ρ)1.由((xa)ρ,(ya)ρ)LS/ρ推出((xb)ρ,(yb)ρ)LS/ρ.
引理6 如果S是一个右-e wlpp半群,则
定义4[2]如果半群S的每一个R**-类仅含有一个幂等元,并且S的所有幂等元是它的中心,则称S是一个C-wlpp半群.
定理1 如果S是一个右-e wlpp半群,则ρ是半群S上的一个最小的C-wlpp半群同余关系.
证明 假设S是一个右 -e wlpp半群,则S/ρ是一个wlpp半群.再证S/ρ的每一幂等元是S/ρ的中心.任取xρS/ρ,eρE(S/ρ),则 ex=exe=(ex†(xe)).因为(x†e)(ex†)=x†e,且 (ex†)(x†e)=ex†,所以 ex†E(x†e)=E((xe)†).因此,由 ρ 的定义,可知(ex,xe)ρ,所以(xρ)(eρ)=(eρ)(xρ).这就证明了S/ρ是一个C-wlpp半群.
最后证明ρ是半群S上的一个最小的C-wlpp半群同余关系.假设τ是半群S上的一个同余关系,则S/τ是一个 C-wlpp半群.设(a,b)ρ,则 a=fb(fE(b†)),因为 S/ρ 是一个 C-wlpp 半群,E(b†)是一个左零带,则 aτ=fτb τ=(bb†)τfτ=b τ(b†f)τ=(bb†)τ=b τ,所以 ρ⊆τ.
2 主要结果
定理2 令S是一个半群,则下面结论等价:(i)S是一个右-e wlpp半群.
(ii)S是C-wlpp半群和左正规带关于半格Y的织积.
(iii)S是一个L右可消半群Mα×Eα的强半格.
证明 (i)⇒(ii)假设S是一个右-e wlpp半群.则S/ρ是一个C-wlpp半群,意味着S/ρ的幂等元在中心.据文献[3],S/ρ可表示为L-右可消幺半群Mα(αY)的强半格,记为:[Y;Mα;Φα,β],其中Mα是 S/ρ 的R**-类,Y=(S/ρ)/R**.易得=JE(S).因为E(S)是一个左正规带,所以E(S)=[Y;Eα;Φα,β].其中,Y=E(S)E(S)是Eα的左零带.于是构造出S/ρ和E(S)关于半格Y的织积[4],记为:T=∪αY(Mα×Eα).其中 T上的乘法定义为:(m,i)·(n,j)=(mn,ij),mn 是 S/ρ中m和n的乘积,ij是E(S)中i和j的乘积.
证明 S≃T,先定义一个映射 θ:S→T,即sa(sρ,s†).
(st)θ =(stρ,(st)†)=(sρ,s†)(tρ,t†)=(sθ)(tθ),所以θ是同态映射.S同构于C-wlpp半群和左正规带关于半格Y的织积.
(ii)⇒(iii).假设S=∪Mα×Eα是一个C-wlpp半群 M=[Y;Eα;Φα,β]和一个左正规带 E=[Y;Mα;Φα,β]关于半格 Y 的织积[6].则对任意 α,βY,α≥β,且(a,i),(b,j)Mα×Eα,定义一个映射Φα,β:S→S,即:(a,i)Φα,β=(aΦα,β,iΨα,β),其中Φα,β和 Ψα,β是关于 M 和 E 的结构同态.假设(a,i),(b,j)S,则
所以Φα,β是一个同态映射.显然Φα,α是一个恒等映射.对任意 α,β,ρY,α≥β,β≥ρ,有 Φα,β·Φβ,ρ= Φα,ρ.设(m,k)Mα×Eα,(n,j)Mβ×Eβ,且记 ρ=α·β,则
因此,S是一个L右可消半群Mα×Eα的强半格.
(iii)⇒(i).假设S是一个L右可消半群Mα×Eα的强半格,Φα,β是一个结构同态,Sα=Mα×Eα.任取(a,i)E(S),则存在 αY,使得(a,i)E(Sα).因为(a,i)2=(a2,i)=(a,i),显然 a2=a(a,a2L(Mα)),所以(1α,a)L(Mα),又因为Mα是L右可消幺半群,所以1α=ua(uMα).因此 a=1αa=ua·a=ua2=ua=1α.所以 E(S)⊆∪{(1α,i):1α是Mα的一个恒等元,iEα}.反之亦然.所以E(S)=∪{(1α,i):1α是Mα的一个恒等元,iEα}.
因此
同理,得 abe=(aΦα,δ)(bΦβ,δ)(eΦρ,δ)=(xy,i).
因此aeb=abe.所以S是一个右-e wlpp半群.
[1]TANG Xiangdong.On a theorem of C-wrpp semigroups[J].Commun Algebra,1997,25(5):1499-1504.
[2]DU Lan,SHUM K P.On left C-wrpp semigroups[J].Forum,2003,67:373-387.
[3]REN X M,DING X L,SHUM K P.A new structure theorem of left C-wrpp semigroups[J].International Journal of Algebra,2007,1:41-49.
[4]TANG Xiangdong.Semilattice of L**-simple semigroup[J].Semigroup Forum,1998,57:37-41.
[5]THOMASW H.Algebra[M].Seattle,Washington:Springer Press,1973.
[6]HOWIE J M.Fundamentals of semigroup theory[M].Oxford:Clarendon Press,1995.