两个半离散逆向的Hilbert型不等式

巫伟亮

(嘉应学院数学学院，广东梅州514031)

1908年德国数学家D．Hilbert创立了经典离散的Hilbert不等式:若0＜Σ∞，则

这里，常数因子π为最佳值．式(1)、(2)是分析学的重要不等式［1-2］．最近，文献［3］-［10］通过估算权函数及运用参量化的思想对半离散Hilbert型不等式进行了研究．

本文应用估算权系数的方法及实分析的思想，分别从0＜p＜1及p＜0两种情况建立了新的含有核为A＜1)、半离散逆向的Hilbert型不等式，证明了其常数因子为最佳值并考虑了它们的等价式．

1 若干引理

则有

这里，

证明 在式(3)中作变换u=(x/n)λ/2，查积分表可得

因0＜λ≤2，对于固定的x＞0，函数

这里，θλ(x)=

事实上，当0＜x＜1时，

当x≥1时，

式(5)成立．证毕．

证明 当0＜p＜1时，设

一方面，由逆向的Hölder不等式［11］及式(3)～(5)，有

故式(6)成立．另一方面，同理可得

故有式(7)．类似地，当p＜0时，运用Hölder不等式及式(5)，式(6)和式(7)仍成立．证毕．

2 主要结果

则有如下等价的不等式:

这里，常数因子kλ是最佳值．

证明 由 L逐项积分定理［12］，式(8)中 I有2种表示．由条件，式(6)取严格不等号，式(9)成立．由逆向的 Hölder不等式［11］，有

由式(9)，有式(8)．反之，设式(8)成立．取

运用式(8)得

由式(6)及条件，知 J1＞0．若 J1=∞，则式(9)显然成立;若J1＜∞，则式(8)严格不等号成立的条件都具备，式(12)取严格不等号，且有

有式(9)与式(8)等价．由条件及式(7)，有式(10)．根据逆向的Hölder不等式，一方面

由式(10)，式(8)成立．另一方面，设式(8)成立．取

由式(8)有

由式(7)及条件，知J2＞0．若J2=∞，则式(10)显然成立;若J2＜∞，应用式(8)，式(14)取严格不等号，且有

故有式(10)与式(8)等价．综上可导出式(8)、式(9)与式(10)齐等价．

事实上，可求得

由式(15)、(16)，有

故有 k≥kλ(ε→0+)．因而 k=kλ为式(8)的最佳值．式(9)及式(10)的常数因子也必为最佳值．若不然，由式(11)、(13)，必可推导出式(8)中的常数因子kλ不为最佳值的矛盾．证毕．

当p＜0时，由引理2及类似定理1的证明，可得:

则有如下的等价的不等式:

这里，常数因子kλ具有最佳性．

致谢 衷心感谢杨必成教授的耐心指导与帮助!

［1］HARDY GH，LITTLEWOOD JE，POLYAG．Inequalities［M］．Cambridge:Cambridge University Press，1952．

［2］MINTRINOVICE D S，PECARIC J E，FINK A M．Inequalities involving functions and their integrals and derivatives［M］．Boston:Kluwer Academic Publishers，1991．

［3］KRNIC M，PECARIC J．Hilbert's inequalities and their reverses［J］．Publ Math Debrecen，2005，67(3-4):315-331．

［4］AZAR L．On some extensions of Hardy-Hilbert’s inequality and applications［J］．J Inequal Appl，doi:10．1155/2008/546829．

［5］杨必成．一个半离散非齐次核的Hilbert不等式［J］．湛江师范学院学报，2011，32(3):5-9．

［6］杨必成．关于一个半离散的Hilbert型不等式［J］．汕头大学学报:自然科学版，2011，26(4):5-10．

［7］杨必成．一个半离散且非齐次核逆向的Hilbert不等式［J］．湖南理工学院学报:自然科学版，2011，24(3):1-4．

［8］杨必成．关于一个半离散且非齐次核逆向的Hilbert不等式［J］．内蒙古大学学报:自然科学版，2011，40(5):433-436．

［9］YANG Bicheng．A mixed Hilbert-type inequality with a best constant factor［J］．Int JPure Appl Math，2005，20(3):319-328．

［10］杨必成．一个半离散的Hilbert不等式［J］．广东第二师范学院学报，2011，31(3):1-7．

［11］匡继昌．常用不等式［M］．济南:山东科技出版社，2004．

［12］匡继昌．实分析引论［M］．长沙:湖南教育出版社，1996．