有渗流地埋管传热模型及快速算法＊

陈友明，张训水，杜立志，刘向伟

（湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410082）

地源热泵技术是一种高效清洁的空调方式，地埋管换热器与周围土壤间传热的研究是地源热泵技术研究与应用的关键.Eskilson[1]率先求得了单钻孔地埋管换热器在阶跃热流作用下的温度响应（即g－函数），对于多个钻孔的地埋管换热器所引起的温度响应可在单钻孔传热分析的基础上采用叠加原理进行分析，这种方法已应用在地源热泵设计软件EED[2]和GLHEPRO[3]中.Zeng等[4]继承了这一方法，并根据线性叠加原理、格林函数法及虚拟热源方法，进一步求得有限长线热源在半无限大介质中温度分布的解析解，这些显式的函数关系式可以更加灵活方便地在计算程序中调用并计算.

实际工程中地埋管穿透的地层中或多或少都存在着地下水的渗流，尤其是沿海地区和地下水丰富的地区，地下水流动的影响更为明显，因此地埋管周围土壤传热过程实际上是热渗耦合过程[5].由于中深层（30～150m）地下水运动以水平方向为主，所以地下水横向渗流的强弱成为对土壤传热的主要影响因素[6].然而，由于这一问题的复杂性，现有文献鲜有对这一问题的深入分析.Eskilson[1]利用了Carslaw等[7]给出的移动线热源问题稳态解析解，仅讨论了在达到稳态状态以后渗流对地热换热器的影响.Chiasson等[8]利用有限元法数值求解了二维渗流问题，对一些实际问题进行了计算和比较，但未能找到较一般的规律[9].

文献[10]根据多孔介质中有渗流时的能量方程，首次解析求解得到了有均匀渗流时线热源引起的二维非稳态温度响应，并用实验方法进行了验证，结果显示其理论计算值与实测值吻合较好.由于地埋管换热器涉及的范围较广，通常需要数年甚至更长的时间才能达到稳定，因此实际应用中必须考虑非稳态问题，这使得文献[10]给出的考虑水平渗流的地埋管换热器有限长线热源解析解模型计算量非常大，模拟耗时长.

本文提出了考虑地下水水平渗流的有限长线热源模型新解析解，与文献[10]相比，该解析解的理论计算值在保证合理计算精度的同时，显著提高了模型计算速度，从而使有限长线热源模型能更方便地应用于实际工程中.

1 有渗流地埋管传热模型

考虑地下水水平渗流的地埋管传热过程涉及的几何条件和物理条件非常复杂，为了简化理论分析，做出如下假设：

1）地下岩土简化为一个均匀的多孔介质，热量传递是由介质（包括固体骨架和其中的流体）的导热和孔隙中流体（水）的对流传热而实现的[8].

2）土壤为半无限大均匀介质，在整个传热过程中土壤的热物性不变.

3）忽略地表温度波动以及埋管深度对土壤温度的影响，认为土壤温度均匀一致为T0.

4）忽略钻孔的几何尺度而把钻孔近似为轴心线上有限长度的线热源，并且每米换热量均匀恒定.

在无渗流情况下，瞬时点热源在无限大介质中的温度响应（格林函数）在直角坐标系中可以表示为[7]：

考虑有渗流的情况，比较多孔介质中有渗流的能量方程和移动热源问题的热传导方程，可以看到二者有相同的形式，并且可以互相转化 .文献[10]考虑固定于 （x′，y′，z′）的点热源，假设地下水沿平行于x轴正方向以速度u′移动，由格林函数法和叠加原理可得到在τ时刻位于点（x，y，z）在阶跃热流q下的温度响应为：

式中：u为热源等效移动速度；u′为地下水渗流流速；α为地下岩土的热扩散系数；ρw为水的密度；cw为水的质量比热容；ρ为多孔介质（包括水）的平均密度；c为多孔介质（包括水）平均质量比热容；θ为过余温度；T为所求温度场；T0为地下岩土初始温度.

g－函数是由Eskilson[1]提出的，定义为特定的单孔或者多孔地埋管换热器的钻孔壁在阶跃热流下的温度响应.

式中：ks为岩土导热系数.

由式（3）可以看出，在单位管长换热量q和岩土换热系数ks确定的情况下，g－函数值可以确定过余温度响应.

根据Eskilson的定义及公式（3），可得τ时刻在位于（x，y，z）的点上的g－函数[10]为：

式中：

引入虚拟热源法来解决有限长线热源模型地表面的恒温边界条件，即在与线热源关于边界面对称的位置设一虚拟线热汇，其强度与线热源大小相等，符号相反，且虚拟介质中也存在和实际介质相同的均匀渗流，这样，等温边界条件自动得到满足 .当z＝H／2时，可得有限长线热源模型钻孔壁中点g－函数为：

式中：H为埋管深度.

文献[5]指出，采用钻孔壁深度方向中点处温度作为钻孔壁的代表温度，虽然比较方便，但在定义上显得有些随意性.因此，采用温度沿整个钻孔壁深度方向的积分平均值作为钻孔壁的代表温度更为合理.

考虑水平渗流的有限长线热源模型钻孔壁积分平均温度g－函数为：

2 新型g－函数

从式（6）中看到钻孔壁积分平均g－函数是三重积分形式，这使得逐时模拟非常耗时，非常不利于工程应用.本文通过调换参数积分次序的方法，提出一种计算速度较快的g－函数形式.由式（5）得[10]：

式中：

g－函数对时间τ的导数为：

式中：

式（8）对时间积分可得，有限长线热源模型新的钻孔壁中点温度g－函数形式为：

分别对A，B，C沿钻孔深度方向积分可得：

钻孔壁积分平均温度g－函数对时间τ的导数为：

式（10）对时间τ积分可得到钻孔壁积分平均温度g－函数：

3 计算精度与速度对比

本文提出的新型g－函数是在文献[10]提出的g－函数基础上利用数学方法改进的，新的钻孔中点及积分平均温度g－函数值与文献[10]模型的理论计算值完全相同.

为评估本文g－函数与文献[10]模型的计算速率，本文分别对单钻孔中点温度g－函数及积分平均温度g－函数的新旧2种解析解形式进行了分析对比，所有计算采用Matlab编写的程序完成，使用电脑性能为双核1.80GHz.计算结果见表1和表2.

由表1和表2可知，新的钻孔中点和积分平均g－函数计算速度较原g－函数均有了较大提高.模拟单钻孔地埋管实际运行1 000h，新的中点g－函数较原g－函数形式快了131倍；新钻孔平均温度g－函数式（11）较原g－函数式（6）在20h的计算中快了9 000倍.原积分平均温度g－函数为三重积分的形式，计算速度过慢，非常不适于工程分析应用.

表1 单孔中点温度g－函数计算耗时比较Tab.1 Comparison of the calculation time for g－function（middle－temperature）of one borehole

表2 单孔平均温度g－函数计算耗时比较Tab.2 Comparison of the calculation time for g－function（mean－temperature）of one borehole

图1为渗流对钻孔中点温度及平均温度g－函数的影响.由图1可知，有限长线热源的g－函数长期运行均趋于稳定.无渗流的g－函数均大于有渗流的g－函数，且无论有无渗流，中点温度g－函数均高于积分平均温度g－函数.这表明在地埋管长时间模拟中，采用钻孔壁中点温度使得钻孔壁温度计算值偏大，这将导致地埋管选型过大，从而使地源热泵系统的初投资过大.

图1 渗流对钻孔中点温度及平均温度g－函数的影响Fig.1 Effect of advection on the g－function of borehole area

4 多钻孔计算

对存在多个钻孔的钻井域进行分析计算时，我们采用Eskilson给出的g－函数叠加方法进行计算.当存在N个钻孔时，任一钻孔中点和平均温度g－函数可分别表达为[1]：

式中：rb为钻孔半径；

下面考察4个钻孔在不同渗流速度及渗流方向的情况下钻孔壁沿钻孔深度方向积分平均温度g－函数及温度响应.钻孔域内钻孔布置及地下水水平渗流方向见图2，计算结果见图3和图4.

图3为不同渗流速度下的g－函数比较，其中u＝5.4×10－7m·s－1，rb＝0.055m .图中表明存在水平渗流的g－函数值较无渗流情况小，且渗流速度越大，g－函数值越小并能更快地趋于稳定.

图2 钻孔布置及渗流方向图Fig.2 Schematic of borehole layout and advection directions

图3 不同渗流速度下的g－函数比较Fig.3 Comparison of g－functions under different advection velocity

图4 不同渗流方向下的g－函数比较Fig.4 Comparison of g－function under different advection directions

图4为钻孔壁1在不同渗流方向下的g－函数比较，由图4可知，钻孔壁沿深度方向积分平均温度g－函数，在长时间运行后渗流方向1，2g－函数值小于渗流方向3，4；当趋于稳定后渗流方向4的g－函数比渗流方向2大18.15%.这表明若计算钻孔处于地下水渗流方向下游，则g－函数值较大，相应的钻孔壁过余温度绝对值较大；若计算钻孔处于地下水渗流方向上游，则g－函数较小，相应的钻孔壁过余温度绝对值较小.

图5为在阶跃热流作用下，渗流速度为u＝5.4×10－7m／s，渗流方向1时钻孔域的温度场（即g－函数值分布）.图6为在同样阶跃热流作用下，无渗流时钻孔域的温度场.图中表明有水平渗流的钻孔域温度分布与无渗流情况有较大不同，有渗流钻孔域温度分布不对称，且其温度场明显小于无渗流情况.这说明，水平渗流能缓解在阶跃热流长期作用下引起的热量积累，从而改善钻孔域的换热工况.

图5 有地下水渗流时钻孔域温度场Fig.5 Temperature field of borehole area with groundwater advection

图6 无地下水渗流时钻孔域温度场Fig.6 Temperature field of borehole area without groundwater advection

5 结 论

考虑地下水渗流的地埋管换热模型更接近于实际的应用工况，g－函数计算是考虑地下水渗流模型应用的关键，在钻孔单位管长热流及岩土传热系数ks确定的情况下，g－函数值唯一决定了钻孔域的温度场.针对文献[10]模型钻孔壁中点及积分平均温度g－函数计算繁琐耗时的问题，本文提出了新的钻孔壁中点和积分平均温度g－函数形式，改进后的g－函数均为一维积分的形式，在保证计算精度的同时，计算速度有了显著提高.积分平均温度能准确地反应钻孔壁温度，在实际工程应用中可采用新的积分平均温度g－函数进行钻孔壁温度响应计算.

另外，本文还运用叠加原理分析了有水平渗流时4钻孔方形区域阶跃热流下钻孔壁温度响应.计算结果表明，在阶跃热流作用下，水平渗流能显著改善钻孔域的换热工况，且渗流速度越大，效果越明显.对于特定的采样点，其温度响应与地下水渗流方向有关，处于地下水渗流方向下游的钻孔壁过余温度绝对值较大，处于地下水渗流方向上游的钻孔壁过余温度绝对值较小 .钻孔分布形式对多埋管区域温度场有较大影响.由于在钻孔埋管区域主要存在地下水的水平渗流，所以在实际工程中采用考虑地下水水平渗流的地埋管换热模型能更精确地进行地埋管设计，防止地埋管选型过大.

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