挖点法在函数论中的应用

张 骞 （陇东学院数学与统计学院，甘肃 庆阳745000）

在函数论中有很多性质的证明和计算问题，下面笔者主要介绍了挖点法在函数论性质证明和计算中的作用，使得一些问题的解决方法显得直接、简洁，体现出挖点法在解决不同问题中的统一性。

1 在极限和连续性证明中的应用

命题1［1］（收敛数列必有界） 若数列｛an｝收敛，则｛an｝有界。

证明 设｛an｝的极限为a，挖去点a的某一个充分小邻域U（a；ε0），由数列极限的定义，存在正整数N，当n＞N时，an∈U（a；ε0），即数列｛an｝中，n＞N的项有界；而n≤N的项只有有限项，显然有界，所以｛an｝是有界数列。

2 证明区间套定理的推论

命题2［1］（区间套定理的推论1） 若ξ∈ ［an，bn］（n＝1，2，…）是区间套 ｛［an，bn］｝所确定的点，则对任意ε＞0，存在正整数N，当n＞N时，［an，bn］⊂U（ξ；ε）。

命题3 （区间套定理的推论2） 若ξ∈ ［an，bn］（n＝1，2，…）是区间套 ｛［an，bn］｝所确定的点，则挖去ξ点的任意邻域，即可挖去区间套｛［an，bn］｝中的无限个闭区间。

证明 由命题2知对任意ε＞0，存在正整数N ，当n＞N时，［an，bn］⊂U（ξ；ε），即在U（ξ；ε）内包含区间套｛［an，bn］｝中n＞N的所有 （无限个）闭区间，则当挖去ξ点的任意邻域U（ξ；ε）时，即可挖去区间套 ｛［an，bn］｝中的无限个闭区间。

3 在可积性证明中的应用

命题4［1］若f是区间［a，b］上只有有限个间断点的有界函数，则f在［a，b］上可积。

所以f在［a，b］上可积。

4 在积分计算中的应用

解 由于1是瑕点，挖去1点的左邻域U（1）＝（u，1），则：

由例3和例4可以看出，非正常积分的计算，其实质是挖点法。

解 由于 （0，0）在c的内部，则P（x，y），Q（x，y）在c所确定的闭区域D 上有一点 （0，0）处不满足Green公式，这时可以采取挖点法将（0，0）挖掉，用一条包含在c的内部且以（0，0）为内点的简单闭曲线l挖掉（0，0）点，这样由闭曲线c和l确定了一个复连通的闭区域，在其上满足Green公式。为了计算取圆l：x2＋y2＝ε2，圆区域为D′，利用Green公式，有：

解 由于原点在S的内部区域，则P，Q，R在S的内部有一个奇点（0，0，0）不满足Gauss公式，这时可以采取挖点法将这个奇点挖掉，用一包含在S的内部且以（0，0，0）为内点的光滑闭曲面S′挖掉（0，0，0）点，这样由闭曲线S和S′确定了一个空间复连通的闭区域，在其上满足Gauss公式。为了易于计算取S′：x2＋y2＋z2＝ε2，利用Gauss公式有：

则：

从上述例子可以看出，挖点法在函数论中的重要性，在极限理论、可积性以及积分计算等不同问题中均可以采取挖点法，体现了挖点法在不同问题中的统一应用，特别在积分计算中应用挖点法可以使其转化，也体现了一种间接计算方法。

［1］华东师范大学数学系 .数学分析 （上、下册）［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［2］钟玉泉 .复变函数论 ［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［3］钟玉泉 .复变函数学习指导书 ［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］裴礼文 .数学分析中的典型问题与方法 ［M］.北京：高等教育出版社，2003.