混沌运动的特征及其在密码学中的应用

张金锋，尹新国，刘建军，公丕锋，朱孟正

（淮北师范大学 物理与电子信息学院，安徽 淮北 235000）

混沌[1-2]被誉为继相对论和量子力学之后的本世纪最重要的科学发现之一，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，加深了人们对客观世界的认识.混沌理论的应用是一个具有广阔前景的前沿课题和学术热点，并逐渐成为一门新兴的产业，显示出巨大的经济效益和优越性，文献[3-5]指出人们对混沌理论及其在各个领域的应用有了清晰的认识.随着非线性科学及混沌理论的发展，混沌科学在电子学、信息科学、图像处理等领域都有了广泛的应用，混沌密码学就是其中之一[6-7].混沌密码理论利用混沌序列的非周期性和伪随机特性，将混沌序列作为密钥流和原始明文序列进行诸位异或而得到加密密文.

1 通向混沌最典型的途径：倍周期分岔

由一个确定性系统走向混沌的一种最典型途径是倍周期分岔.这里引入最典型的混沌数学模型逻辑斯蒂(Logistic)方程[8]来说明这个问题：

其中初值x0的取值范围为（0,1）,λ的取值范围为[0,4].在方程的演化过程中，将λ作为横坐标，迭代的结果xn+1作为纵坐标，并将其由小到大逐渐增大就可以展示倍周期分岔走向混沌的过程 (如图1所示).

从图1中可以看出，当λ<3时,系统还处于稳定的1周期.λ=3时开始2分岔，得到稳定的2周期，即对应一个λ的值，可以得到两个迭代值；λ=3.449时，得到稳定的周期4；λ=3.544时，得到稳定的周期8；随着λ的逐渐增大，系统按照2n进行倍周期分岔；当λ=3.569时，系统完全进入混沌状态.

图1 逻辑斯蒂方程的混沌展示图

2 混沌运动的基本特征

一般认为，混沌就是在确定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动.混沌现象产生的根源在于系统自身的非线性，而与外部的影响无关.但是到目前为止，对混沌概念还没有公认的严格的定义.研究表明，对混沌概念的界定应从混沌现象的本质特征入手，从数学和物理两个层次去考虑，才有可能得出正确完整的结论.为了区别于其他复杂现象，一般认为混沌具有以下各个方面的基本特征，且它们之间有着密不可分的内在联系.

2.1 遍历性

混沌运动轨道局限于一个确定的区域——混沌吸引域，混沌轨道经过混沌区域内的每一个状态点.

2.2 确定性、随机性

确定性是指描述动力学系统的微分方程中的系数都是确定的，没有概率性因素.对确定的初始值，确定性方程应给出确定的解，描述着系统确定的行为.但在某些非线性系统中，这种过程会因初始值极微小的扰动而产生很大变化.由于系统的这种初值敏感性，从物理上看，这过程似乎是随机的，但这种随机性是确定性系统内部所固有的，所以被叫做内存随机性.

2.3 对初值的敏感性

人们常用“蝴蝶效应”来指代混沌系统对初始条件的敏感依赖特性.初始条件的任何微小变化，经过混沌系统的不断放大，都有可能对其未来的状态造成极其巨大的变化.如虫口模型xn+1=λxn(1-xn)，xn∈[0,1]，λ∈[0,4].图 2表示取两个不同的初值x01=0.4，x02=0.4001，对应同一个参量λ=3.6的迭代结果.

图2 混沌对初值的敏感性

通过上图可知迭代初值x01，x02相差很小，当迭代次数小时其迭代结果相差很小，但随着迭代次数的增加，迭代结果相差越来越大，这也体现了“失之毫厘，谬以千里”的道理，此即系统对初值的敏感性.

2.4 长期行为不可预测性.

由于对初始条件敏感，混沌系统的长期行为同随机运动一样无法预测.但不能简单地宣布混沌运动不可预见.因为混沌系统的演化方程式是确定的，混沌吸引子在相空间的位置是确定的，短期行为可以预测；吸引子上的运动服从某种概率规律，具有统计意义上的可预见性.混沌的发现在某些方面又增强了人的预见能力.

2.5 无序中蕴含着十分复杂的有序

表面上看，混沌运动呈现出混乱无序的随机状态，但这种随机状态是一种内在的随机状态，随机中蕴含着有序.从混沌的相空间任意取出一部分放大看，仍像整体那样极不规则、具有无穷精细结构和某种自相似性.

图3是图1λ=3.589中μ=2.5时所对应窗口的局部放大,从中又可以看出倍周期走向混沌的过程和混沌区域,这与整体图十分相似,只不过尺度不同,混沌的这一特性称为自相似性.它又一次表明了混沌并不是真正的随机态,而是在随机状态中蕴含着有序.

图3 逻辑斯蒂方程的混沌展示图的局部放大图

2.6 非周期性.

混沌是非线性动态系统的一种可能定态，相空间轨道不是单调变化的,也不是周期性的，而是非周期性地曲折起伏变化的.把系统的非单调行为判定为要么瞬态运动、要么周期运动的传统观点是错误的.

3 混沌理论在密码学中应用

3.1 密码学的发展介绍

密码学的历史源远流长，从它的产生到现在大致经历了三个发展阶段，首先是手工阶段，人们只是通过纸和笔对于字符加密，加密的手段是替代和换位.随着工业革命的到来，密码学也进入了机器时代、电子时代.在这个时期，虽然加密设备有了很大的进步，但是密码学理论却没有多大的改变.计算机的出现使密码进行高度复杂的运算成为可能，为了适应计算机网络通信和商业保密的要求，从而产生了公开密钥理论，进入了近代密码学阶段，使密码学取得了重大的突破.加密手段融入了大量的数论、几何、代数等丰富的方法，使密码学得到了更加蓬勃的发展.目前，人们对密码的研究仍然高度重视，已经发展到现代密码学时期.密码学已经结合混沌动力学、量子力学、等专业的综合科学，出现了如“量子密码”、“混沌密码”等先进理论，在保密通信中起着非常重要的作用.

3.2 混沌理论与密码学理论的区别与联系

众所周知，密码学中用于指导密码设计的两个基本原则是扩散与混乱.扩散是将明文冗余度分散到密文中使之分散开来，以便隐藏明文的统计结构，实现方式是使明文的每一位影响密文重点的多位的值；混乱则是用于掩盖明文、密文和密钥之间的关系，使密钥密文之间的统计关系变得尽可能复杂，导致密码攻击者无法从密文中得到密钥.混沌的轨道混合特性（与轨道发散和初值敏感性直接相联系）对应于传统加密系统的扩散特性，而混沌信号的类随机特性和对系统参数的敏感性对应于传统加密系统的混乱特性.可见，混沌具有的优异混合特性保证了混沌加密器的扩散和混乱作用可以和传统加密算法一样好.另外，很多混沌系统与密码学中常见的Feistel网络结构（如标准映射、Henon映射等）是非常相似的.

混沌和密码学之间具有的天然的联系和结构上的某种相似性，启示着人们把混沌理论应用于密码学领域.但是混沌毕竟不等于密码学，它们之间最重要的区别在于：密码学系统工作在有限的离散集上，而混沌却工作在无限的连续实数集上.此外，传统密码学已经建立了一套系统安全性和性能的理论，密码空间的设计方法和实现技术亦比较成熟，从而能保证系统的安全性；而目前的混沌加密系统还缺少这样一个评估算法安全性和性能的标准.

4 结束语

对混沌现象的认识是非线性科学的最重要的成就之一，混沌概念与分形、孤立子、元细胞自动机等概念并行，组成人类探索复杂性科学的重要范畴.混沌理论和密码学可以彼此借鉴各自的研究成果，促进共同的发展.一方面，混沌动力学中的一些物理量，可能成为密码安全性的一种标度.另一方面，一些典型的密码分析工具也可以用于混沌理论的分析.

〔1〕Howel Tong.Nonlinear Time Series Analysis Since1990:Some Personal Refletions [J].Act a Mathem aticae Applicatae Sinica,English Series,2002,18(2):177-184.

〔2〕Andrzej Kossakowski,Mas anori Ohya,Yoshio Togawa.How Can We Observe and Describe Chaos? [J].Open Systems and Informat ion Dynamics,2003,10(3):221-233.

〔3〕王育民，刘建伟.通信网的安全——理论与技术[M].西安：西安电子科技大学出版社，1999.30-51.

〔4〕Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems. Physical Review Letters,1999,64(8):821-824.

〔5〕廖晓锋，等.混沌密码学原理及其应用[M].北京：科学出版社，2009.10-39.

〔6〕王晓英.一个基于混沌理论的加密算法的设计[J].赤峰学院学报，2010，26(2)：33-34.

〔7〕李婷.Lorenz系统的混沌同步以及在保密通信中的应用[J].赤峰学院学报，2011，27(8)：43-44.

〔8〕张金锋，等.倍周期分岔通向混沌过程的计算机模拟[J].牡丹江师范学院，2013，82(1)：12-14.