基于灰熵关联分析的表面贴装多目标优化

路军营，朱光宇

（福州大学 机械工程及自动化学院，福建 福州 350002）

0 引言

表面贴装技术（Surface Mounted Technology，SMT）是目前电子贴装行业的主流工艺技术，贴片机是SMT系统中的关键设备，其装配工艺是整个系统生产效率提高的瓶颈。

针对单台贴片机而言，影响表面贴装效率的因素主要有两个：①贴片机喂料器位置分配问题（Reel Assignment Problem，RAP），确定喂料器在喂料槽上的安放位置；②元件取贴顺序优化问题（Pick－And－Place Sequencing Problem，PAPSP），确定元器件的拾取和贴装顺序。这两个因素都属于复杂的组合优化问题，即 NP－Hard问题［1］，具有高维数、离散和非线性的特点，用传统的方法很难求得全局最优解。前者一般作为二次分配问题（Quadratic Assignment Problem，QAP）来解决［2］，后者一般作为广义的旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）［3］来解决。

目前针对该问题的研究主要利用遗传算法［4－7］、粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［8－9］和一些启发式算法［2，10］进行求解。文献［2，4－10］在贴片顺序确定的情况下，利用遗传算法或启发式算法优化喂料器分配；文献［8］基于给定物料摆放顺序的情况下，用离散PSO算法对贴装顺序进行优化；文献［5，11］在喂料器位置确定的情况下，用蛙跳算法或遗传算法优化元件贴装顺序；文献［12］提出由最近邻算法和分散搜索算法组成的混合算法，在优化元件拾取贴装顺序的同时对喂料器分配问题进行优化；文献［6］利用遗传算法首先对喂料器分配问题进行优化，然后把优化结果映射到对贴片顺序的优化上；文献［13］提出两个非线性整数规划模型，并利用混合遗传算法同时解决供料器分配和贴片顺序优化问题；文献［9］利用自适应PSO算法，分别对喂料器分配、贴片顺序和吸嘴更换时间建立目标函数，将三目标值的和作为适应度函数进行优化，由于目标函数量纲不统一，其结果的有效性需要进一步验证；文献［7］把元件贴放顺序、喂料器分配和机器延迟问题看成带约束的多目标优化问题，运用遗传算法进行优化。

灰色系统理论主要研究小样本、贫信息不确定性问题，目前已有学者把灰色理论应用到多目标优化设计领域。文献［14］将带熵权的灰色关联分析引入PSO，用于解决多目标优化问题；文献［15］把灰色关联度作为适应度函数，利用自适应遗传算法求解多目标优化问题；文献［16］建立了改进熵权的灰色关联度模型，并应用到湿地水质的综合测评中。

目前，表面贴装优化问题主要集中在对某一个子问题的求解，忽略了整体的连贯性，或者对三个子问题分别建立优化模型、单独优化，或者通过加权运算将多个目标转化为单目标函数进行求解，而各目标权重分配的效用函数难以确知，权系数分配带有很大的主观随机性，很难保证最优解的客观性。

1 贴装工艺描述及多目标优化建模

1．1 贴片工艺过程描述

本文的研究对象为拱架型贴片机，其结构如图1所示，主要包括放置印刷电路板（Printed Circuit Board，PCB）的工作台、喂料器、喂料槽、吸嘴和贴装头等。贴装的工艺过程为：首先PCB由输送带输送到预定位置并夹紧固定，然后贴片头移到相应的喂料器上，通过吸嘴吸取一个或多个元器件，经过视觉检测后，贴片头移动到PCB板上的指定位置，依次贴装这些元器件，完成本次贴装循环，如此循环取贴，直到PCB上的所有元器件贴装完毕。

1．2 子目标函数

为了建立合适的目标函数，作如下假设：①贴片头每次取料、贴放和视觉检查的时间为恒定值；②忽略贴片头运动的加速和减速时间，假设运动为匀速运动。本文建立的优化目标是贴片头在贴装过程中运行的总路径最短（包括取料、贴放两个过程）和吸嘴更换次数最小，分别建立目标函数如下：

（1）贴放顺序优化

假设喂料器位置分配已确定，研究贴放顺序优化问题，可以描述为：在PCB上元件位置确定的情况下，找到一条最短的路径，使贴片头能遍历这些元件位置。建立目标函数：

式中：n为元件的个数；L为取贴循环次数；H为贴片头数；Hk为前L－1个循环，Hk＝H，第L个循环Hk≤H；S为贴片机拾取元件的位置，本文取喂料槽的中心位置；X ＝ ［x1，…，xi，…，xn］T，X 为元件贴放顺序，xi（i＝1，2，3，…，n）为第i个贴放元件在PCB上的位置；d（xi，xi＋1）为第i个贴放元件和i＋1个贴放元件之间的欧式距离；d（xHk×k，xHk×k＋1）为每个取贴循环最后一个元件和下一取贴循环第一个元件之间的欧氏距离；d（S，xHk×k）为每个取贴循环最后一个元件与拾取位置之间的欧式距离；d（xHk×k＋1，S）为每个取贴循环第一个元件与拾取位置之间的欧式距离。

（2）喂料器位置分配

在优化喂料器的安放位置之前，必须满足两个条件：①每种类型的元件只能放在一个槽中，每个槽只能放一种类型的元件；②贴片头从喂料槽上依次顺序拾取各元件。其优化目标为：在贴放顺序已知的情况下，贴片头在喂料槽上移动的距离最短，目标函数为

式中：x0为贴片头的原始位置，位于PCB的左下角；和分别为第k＋1个取贴循环中元件所占最左边和最右边的槽位为第k个取贴循环最后一个元件和第k＋1个取贴循环最左边喂料槽之间的欧式距离为第k＋1个取贴循环元件所占最左边喂料槽与最右边喂料槽之间的欧式距离；为第k＋1个取贴循环元件所占最右边喂料槽srk＋1和第k＋1个取贴循环第一个元件之间的欧式距离。

（3）吸嘴更换次数

每个贴片机都配有不同类型的吸嘴，由于吸嘴更换十分费时，其优化目标为吸嘴更换次数t最小，目标函数为

1．3 拱架型多头贴片机多目标优化模型

本文针对贴放顺序、喂料器分配和吸嘴更换次数三个目标同时实施寻优，该问题的优化往往得到一组解集而不是一个最优解，即得到Pareto最优解集。针对本问题，多目标优化的一般形式可以描述如下：

式中：子目标函数的个数N＝3，n为元件个数；喂料槽的数目m＝40，均匀分布在贴片机两侧。式（4）为贴放元件总数约束，式（5）为喂料槽编码约束，式（6）为取贴循环总数约束。

2 离散空间差分进化算法实现

差分进化（Differential Evolution，DE）算法主要解决连续空间优化问题，且表现出了其独特的优越性［17］，但是在求解离散优化问题时不能直接应用，本文采用实数向量－位置排序的编码方式，把基于实数编码的个体映射到基于自然数编码的解向量，用自然数编码表征元件贴装顺序。基本操作描述如下：

定义1 设Ai（t）＝［ai1（t），ai2（t），…，aij（t），…，ain（t）］T是算法第t代种群中的第i个个体，sort（aij（t））为一个实数值，用于表示ai1（t），ai2（t），…，ain（t）按由小到大排序后，aij（t）在原序列中的位置，j∈［1，n］，称 Xi（t）＝［sort（ai1（t）），sort（ai2（t）），…，sort（ain（t））］T为第t代个体Ai（t）对应的位置排序向量。

例如：第t代中的第i个个体Ai（t）＝［1．223 0，－2．139 7，3．225 0，2．678 5，－3．227 5］T，按由小到大排序后，得新序列［－3．227 5，－2．139 7，1．223 0，2．678 5，3．225 0］T，1．223 0位于新序列的第3位，而处于原Ai（t）序列的第1位，则将要建立的位置排序向量第3位取1，以此类推，对应的位置排序向量为Xi（t）＝［5，2，1，4，3］T。由上可知，Xi（t）是一个基于自然数编码的n维向量，且Xi（t）是与Ai（t）一一对应而来的，Xi（t）代表一种元件贴装顺序，由此将连续空间值转化为离散空间值。

2．1 初始化

设群体规模为M，个体为n维向量，t为当前代数，参数变量范围为［ajL，ajU］，初始群体Ai（0）可通过式ai，j＝xi，jL＋rand（）×（ai，jU－ai，jL）随机生成。其中：i＝1，2，…，M，j＝1，2，…，n，aij表示第i个个体的第j个基因，rand（）为［0，1］上的一个随机数。第t代第i个个体的实数向量为Ai（t），对应的位置排序向量为Ai（t），其中Ai（t）＝［ai1（t），ai2（t），…，ain（t）］T∈Rn，Xi（t）＝［xi1（t），xi2（t），…，xin（t）］T，xij（t）＝sort（aij（t））。

2．2 变异操作

用式（7）对t代的每个个体Ai（t）进行变异操作，变异操作建立在实数向量的基础上，

式中：r1，r2和r3∈［1，M］且i≠r1≠r2≠r3，Ar1（t）为父代基向量，Ar2（t）－Ar3（t）为父代差分向量，Vi（t＋1）为变异后得到的个体，缩放因子F∈［0，1］。

为了避免过早收敛，取动态变化的缩放因子F ＝Fmax－（Fmax－Fmin）×（t／T）2；t表示当前代数，初始t＝0；F＝Fmax；T为最大迭代次数，随着迭代次数t的增加，F向Fmin变化，以维持种群多样性和收敛速度的平衡。

2．3 交叉操作

为增加群体多样性，对Ai（t）和新生成的Vi（t＋1）实施交叉操作，交叉后的中间个体实数向量Ui（t＋1）＝［ui1（t＋1），ui2（t＋1），…，uin（t＋1）］∈Rn，对应位置排序向量Xi（t＋1）＝［xi1（t＋1），xi2（t＋1），…，xin（t＋1）］T，xij（t＋1）＝sort（uij（t＋1））。实现过程如下：

式中：rand（）为［0，1］上的随机数，交叉概率因子CR∈［0，1］，为提高算法性能和搜索能力，选取动态变化的交叉概率因子CR ＝CRmin＋（CRmax－CRmin）（t／T）2；t为 当 前 代 数，初 始t ＝ 0，CR ＝CRmax，T为最大迭代次数。

2．4 选择操作

采用贪婪搜索策略，把当前种群个体函数值与交叉变异后的种群个体函数值相比较，选择目标函数值较小的个体进入下一代，以保证下一代个体比当前个体更优，如式（9）：

式中f为目标函数。

3 灰熵关联分析方法

3．1 灰关联分析

灰关联分析是对群体动态发展过程中整体接近性的分析，其基本思想是根据统计数列的几何关系或曲线的相似程度来判断因素间的关联程度，曲线的几何形状整体上越接近，关联程度越大［18］。针对本文优化问题，实现过程如下：

（1）分析序列的确定

分析序列包括参考序列和比较序列，定义Y为灰关联因子集，表示在种群X下，各子目标函数相对应 的 函 数 值 集 合，Y ＝ ｛Yi｜Yi＝ （f1（Xi），f2（Xi），…，fk（Xi），…，fN（Xi）），i∈M，k∈N｝，M为群体规模，N为子目标函数的个数，N＝3。Y0∈Y为参考序列，由各子目标函数单独优化得到的最优子目标函数值f（X×（k））构成，X×（k）为第k个子目标函数的最优解，即该子目标的最优贴装顺序；Yi∈Y为比较序列。

（2）对参考序列和比较序列进行规范化处理

（3）差序列（绝对差、极大差、极小差）

令：

绝对差序列Δi＝（Δi（1），Δi（2），…，Δi（k），…，Δi（N）），i∈M，k∈N；

（4）灰关联系数r（Y0，Yi）

式中ε∈（0，1）为分辨系数，用于提高关联系数间差异的显著性，这里取ε＝0．5，k∈N。

3．2 灰熵关联度函数

用灰关联分析法分别计算各子函数目标值的灰关联系数，然后取其平均值作为灰色关联度，这样会有两个缺陷：①局部点的关联倾向，即在各子函数目标值离散的情况下，灰关联度主要由灰关联系数大的目标值确定，局部指标的灰关联系数决定整体的接近性和相似程度；②有用信息的缺失，平均值掩盖了各子目标关联系数的个性，没有充分利用各子目标关联系数提供的丰富信息。

在进行灰关联分析时，为了避免出现以上问题，引入信息熵理论，即在灰关联分析中不计算灰色关联度，只计算灰关联系数，依据各子函数灰关联系数所包含信息的大小来确定相应的权重，进而计算出基于熵值权重的灰色关联度。该方法能消除各因素权重的主观性，使评价结果更符合实际。针对本文优化问题，实现过程如下：

（1）构建M个可行方案N 个评价指标的分析序列E ＝ （Yi）M×N（i＝1，2，…，M，N ＝3），Y0为参考序列。

（2）对参考序列和比较序列进行规范化处理，根据式（10）求得Y′i，Y′i＝ （f′1（Xi），…，f′k（Xi），…，f′N（Xi）），i∈ M，k∈ N。

（3）各序列所占比重pi。

式中pi（k）表示第i个个体第k个指标所占比重的大小

式中ek表示第k个指标的信息熵值，e＝［e1，e2，…，ek，…，eN］。

（5）各序列指标的熵值权重W。

（4）各序列指标的信息熵e。

式中wk表示第k个指标的权重

（6）灰熵关联度函数。

式中：Ri表示第i个个体对应的灰熵关联度，R＝［R1，R2，…，RM］。r（fk（X＊（k）），fk（Xi））为由式（12）计算得到的灰关联系数。

灰熵关联度体现了当前解与理想参考解的关联程度，灰熵关联度越大说明当前解越好，本文把灰熵关联度函数R作为多目标优化的适应度函数，以灰熵关联度作为多目标优化的适应度函数值来引导群体进化。

4 基于灰熵关联的多目标差分算法实现

基于灰熵关联的多目标差分算法的优化步骤如下：

步骤1 对各子目标函数（式（1）～式（3）），分别运用差分算法，得到N个子目标函数的最优解X＊（k）和目标函数值Y＊（k）＝fk（X＊（k）），k＝1，2，…，N，将目标函数值Y＊（k）组合成参考序列Y0＝（f1（X＊（1）），f2（X＊（2）），…，fN（X＊（N））。

步骤2 初始化差分算法的参数，即目标序列种群规模M，最大允许迭代次数T，初始进化代数t＝1，动态变异因子Fmax和Fmin，动态交叉因子CRmax和CRmin。按种群规模M随机生成初始群体 Xi（0）（xi1（0），xi2（0），…，xin（0）），n为元件个数，i＝1，2，…，M。由式（1）～ 式（3）计算对应的目标函数值，并随机选取q个个体构建动态Pareto最优解集｛Yp｝。设初始全局最优适应度值Pgd＝0。

步骤3 在当前代中，将 M 个个体Xi（t）（xi1（t），xi2（t），…，xin（t））分别代入式（1）～式（3），计算相应的目标函数值fk（Xi（t）），将目标函数值组合成目标序列Yi（t）＝（f1（Xi（t）），f2（Xi（t）），…，fN（Xi（t）））。

步骤4 在当前代中，根据参考序列Y0和目标序列Yi（t），由式（16）计算灰熵关联度 R（Y0，Yi（t）），由式（7）～式（9）对个体实施交叉、变异和选择操作，用目标函数值小的个体产生新个体。

步骤5 更新动态Pareto最优解集，将每次迭代产生的解与Pareto解集进行优劣比较，对｛Yp｝中的解集进行相应的删除和添加。如果目标序列中一个个体和｛Yp｝中的个体相比较，目标序列中各分量值都小于｛Yp｝中对应的分量值，则该个体优于｛Yp｝中的个体，执行替换操作；如果目标序列中的个体与｛Yp｝中的个体没有优劣之分，则把目标序列个体添加到｛Yp｝中。把｛Yp｝中的个体按灰熵关联度由大到小排序，选出灰熵关联度高的q个个体，清除空间｛Yp｝，把q个个体重新放入｛Yp｝中，更新Pareto最优解集。

步骤6 适应度值比较。比较群体所有个体的当前适应度值和全局最优适应度值，如果R（t）＞Pgd，则Pgd＝R（t）。

步骤7 停止准则，如果迭代次数超过最大迭代次数（t＞T），则停止搜索，输出搜索结果，否则返回步骤3继续搜索。

5 应用实例

本文算法使用MATLAB 7．0编程，在AMD X 2，2．81GHz CPU ，2G 内存，Windows XP环境下运行，测试两块板的实验数据。实验对象为四头拱架型贴片机，贴装头间距为16cm，贴片机两侧各20个槽位，最大迭代次数T＝50，最大缩放因子Fmax＝0．9，最小缩放因子Fmin＝0．2，最大交叉变异因子CRmax＝0．6，最小交叉变异因子CRmin＝0．2。初始｛Yp｝解集个数q＝30。遗传算法采用轮盘赌选择和顺序一致交叉法，变异概率为0．05。本文将仿真结果与遗传算法进行比较，如表1和表2所示。

表1 A板实验数据及仿真结果

表2 B板实验数据及仿真结果

由分析可知，遗传算法和差分进化算法都可以和灰熵关联分析法相结合解决表面贴装过程的多目标优化问题。由表1和表2可知，差分进化算法最优解的灰熵关联度较大，最优值更接近理想参考值。由图2和图3可知，对于A板的优化，差分进化算法贴片顺序优化路径值主要分布在3 600mm～3 900mm之间，遗传算法贴片顺序优化路径值主要集中在4 100mm左右，差分进化算法优化值明显小于遗传算法；差分进化算法喂料器的优化路径值主要集中在3 200mm左右，遗传算法喂料器的优化路径值主要集中在4 000mm，差分进化算法喂料器的优化路径值也明显小于遗传算法优化值；差分进化算法吸嘴更换次数均匀分布在7～11之间，遗传算法吸嘴更换次数主要集中在10次，最小可以取到7次，两种算法单从能取到的最优吸嘴更换次数上比较，优劣不明显，而从解集分布上看，差分进化算法吸嘴更换次数分布比较均匀，比遗传算法能取到更多的好解。

由图4和图5可知，对于B板的优化，差分进化算法贴片顺序的优化路径值主要分布在21 000mm～21 500mm之间和22 500mm左右两个区域，遗传算法贴片顺序的优化路径值主要集中在22 000 mm左右，有少数解分布在21 000mm附近，差分进化算法明显能取到更多优秀的解；差分进化算法喂料器的优化路径值主要分布在12 500mm～13 000 mm之间和13 500mm左右两个区域，遗传算法喂料器的优化路径值主要集中在16 500mm左右，少数解分布在15 500mm附近，差分进化算法喂料器的优化路径值明显小于遗传算法优化值；差分进化算法吸嘴更换次数均匀分布在28～36之间，遗传算法吸嘴更换次数主要集中在33次，最小可取到31次，差分进化算法比遗传算法能取到更小的吸嘴更换次数。

通过A板和B板实验数据分析，两种算法在优化表面贴装问题时，贴片顺序分配和吸嘴更换是影响贴装效率的主要因素，优化过程中贴片优化路径值和吸嘴更换次数波动幅度较大，而喂料器分配对贴装过程影响较小，优化路径值起伏不大。另外，差分进化算法得到的Pareto最优解集，三个子目标函数值至少有两个小于遗传算法，且解集分布相对比较均匀，而遗传算法得到的Pareto最优解集分布得比较集中，容易陷入局部最优解，因此差分算法在解决表面贴装优化的问题上效果更理想。

6 结束语

本文针对拱架型多头贴片机的喂料器分配问题、贴片顺序优化问题和吸嘴更换问题进行了研究，分别建立数学优化函数，构建了多目标优化模型，提出实数向量－位置排序的编码方式实现离散空间的差分运算，并把灰熵关联分析法融入到多目标差分算法中，利用灰熵关联度来表征与理想序列的相关程度，避免人为因素对权重的影响，使三个子目标同时得到优化，通过实验数据比较可知，其效果比遗传算法更好。在以后的工作中，需从解的空间接近性角度对灰熵关联分析法做进一步的详细研究。

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