在体验中思考的数学课堂实践

段文山

摘 要：新课标倡导积极主动、勇于探索的课堂教学实践，动手操作的体验课堂随处可见，然而，怎样的体验课堂才能创造出一个个惊喜呢？通过动手操作，使学生获得的不仅是知识与技能，更是一种认识事物的方式，一种超越现象认识隐藏于背后的本质的追求.尝试：“在实践中体验，在体验中思考，在思考中感悟，在感悟中创新”的数学课堂实践，取得了较好的教学效果.

关键词：实践；体验；思考；创新

一、“操作”中体验

陶行知先生说：“要解放孩子的头脑、双手、脚、空间、时间，使他们充分得到自由的生活，从自由的生活中得到真正的教育.”勇于探索，放手让学生去“做”，已成为广大教师的共识，但如何“做”，为什么这么“做”，是否“做”得更好等诸多问题却仍然困扰着我们.我尝试让学生尽量在真实的活动中获得体验，由表及里地审视数学知识，再现知识的形成过程.

案例Ⅰ“椭圆概念”的认识

师：“嫦娥奔月”，国人振奋.展示“嫦娥二号”探月的图片，并提问：“嫦娥二号”运行的轨道是什么形状？

生：椭圆！

师：同学们借助身边可供操作的素材，尝试着画一个椭圆，边思考椭圆是怎样画成的？

生：积极思考，合作探究，有的用圆规、有的用校卡，有的用小型胶带（学生用品），有的徒手画，有的借助画图板……10秒后，不少同学成功地画出了椭圆，极少数同学仍在尝试.

师：有哪位同学能在黑板上展示一下画椭圆的过程吗？

生1：用一条绳子（无弹性）对折，一端用左手按住，另一端系一支粉笔，把绳子拉直，将粉笔旋转一圈，松手一望，哟，怎么还是圆呢？

生2：将对折后绳子的两个端点稍分开，分别用两个指头按住，中间再用粉笔画.

师：按照这位同学的思路在黑板上画图，故意将绳子变松，画出图：学生们笑了.

生3：您画的是“怪蛋”，圆不圆，扁不扁.

生4：绳子没拉紧.

师：机智地捕捉到这一关键思路.问：绳子没拉紧就画成“怪蛋？”学生陷入思考……

生5：（急于表现）绳子拉紧了就是椭圆，就在黑板上画出一个椭圆.

生6：我知道了，拉紧了就能使叉开的距离之和等于绳子的长度，保持不变，刚才老师画的时候绳子松了一下，叉开的距离之和就变了，所以画出的图形就不是椭圆.

师：太棒了！谁能给出椭圆的定义？

生7：到两点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆.

师：到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹一定是椭圆

吗？同时将两定点的距离拉开，再画一个椭圆.

生8：扁了.

师：绳子的长度一定，两定点距离越来越大，椭圆越来越扁，照这样“扁”下去，后果会怎样？

生9：压扁成一条线段，叉不开了.

生10：到两定点距离之和等于定长（大于两定点间距离）的点的轨迹是椭圆.

师：再次演示，将粉笔一端拉紧绳子，但离开黑板画，学生会意.

生11：应加上“在平面内”，要不然就成鸡蛋了.（掌声响起……）

评注：通过操作，使学生从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡，学生获得了大量的感性材料，从而加深了对椭圆概念的深层次领悟.

二、“体验”中思考

真正的思维起源于某种疑惑、迷乱或怀疑.思维的发生不是依据普遍的原则，而是由某种事物作为诱因发生的.以动手操作诱发学生的数学思考，可以巧妙地把以数学思维为核心的脑部活动和动手操作有机结合，引导学生在一个个数学活动中积累经验，提升观察、实验、猜想、验证、推理、概括等能力.

案例Ⅱ“等差数列前n项和”

课前准备：将班上同学分成9组，每组5～6人，每个小组分发大小相同的硬纸片，上面都写着1.这足以引起同学们疑惑……

师：同学们，还记得前面了解过的古希腊毕达哥拉斯学派的浪漫沙滩之旅吗？今天我们重温当时的场景，请同学们借助硬纸片将它完成.

生：（释惑）哦！原来要我们玩.

学生很快就摆出图形，如图1、如图2.

师：如图3，第100个图案中摆了几块硬纸片？

生：图3中前几个图案中还可以数，越往后的图案所需片数越多，摆到第100个图案，纸片是肯定不够的.

评注：纸片数不够，这一矛盾引起学生的认知冲突，学生在做中体验，要体验中不约而同地遇到了困惑，有困惑就有思考，有思考就会有感悟，运用数学学习“再创造”理论，调动学生原有的知识和经验，引导学生在实践中真正“做”数学.

精彩还在继续……

生1：不如将其他组的硬纸片都拿过来（急中生智）.

生2：恐怕不行，要是摆到第1000个图案呢？太麻烦了吧.

师：就是嘛，要请你摆到第2013个图案，也这样一个一个地摆吗？

评注：疑问再次激起同学们探究的欲望，刚刚建立起来的认知平衡，被无情的事实击倒了，迫使他们在熟悉而又具体的问题情境中，主动地寻求解决问题的方法.

到底该怎么办？

通过实验、操作、讨论、交流，从用硬纸片去摆，n比较大时，摆第n个图案的纸片不够，使学生对三角形数由感性认识上升到理性认识.

生3：有了！（激动）第n个图案的纸片数为1+2+3+…+n，即将每一行的片数加在一起.

师：很好.那么数列1，2，3，…，n是什么数列？

生：等差数列.

师：这就是我们这节课要学习的内容：“等差数列前n项和.”

（出示课题）1+2+3+…+n=？

生4：在旁边再摆一个一样的倒着放的图案，这样每一行的纸片块数相同，如图3，这样就可求1+2+3+…+n=.

师：太妙了！将一个三角形图案顺时针旋转180°后的图案与原图案拼成一个平行四边形状，再求和，这种数列求和的方法叫做“例序相加法”.

生5：那正方形数也可以这样求，先将它分割为如图4，再由图5可得：1+3+5+…+（2n-1）==n2.

师：太棒了！

下面就一般等差数列an求前n项和.

评注：由“经历”到“经验”非常重要的是思维和情感的真正参与，把操作活动变成学生的自觉行为，同时将知识和思想方法进行内化，由此诞生真正的数学思想.

三、“思考”中创新

所谓“多思必有所得”，教师创设一个个极具思考价值的数学活动，使学生时而沉默思考，时而大胆探索，在有限的时间内，再现知识的形成过程，完全陶醉在“好玩”的魅力课堂之中，枯燥的数学就变得妙趣横生.

案例Ⅲ 数列求和

师：今天我们继续玩纸片.

在图3中，现将第1个图案堆在第2个图案上，再堆到第3个图案上，然后堆到第4个图案上，…，如此堆下去，堆成一个“塔”状，如图6是一个三层塔.请问堆一个这样的n层塔共需多少个纸片？

学生动手……

生1：在上节课中，求第n个图案中所需纸片数时，按行计算，即1+2+3+…+n，现在就应该按层计算，第n层所需纸片数为1+2+3+…+n，因此n层塔所需纸片数为1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n）=1+3+6+…+.

师：这是等差数列求和吗？

生：不是.

生2：但我们发现从第2项起，后一项减前一项得到的数列：2，3，4，…，是一个等差数列.

师：这一发现太重要了，能用一个关系式表示吗？

生2：我们试试……

生3：我行！a1=1

an-an-1=n（n>1）

师：精彩！根据第n层所堆纸片数=，其他各层的片数是不是也可以写成这个形式？

生：Sn=1+3+6+…+=+++…+.

师：很好！前面我们已经会求等差、等比数列的前n项和，这类和怎么求呢？

根据加法的交换律，有：Sn=+++…+=

（1+2+2+…+n）+（12+22+32+…+n2）.

我们称这种数列求和的方法为“分组法”，这里：12+22+32+…+n2=

于是Sn=·+·=.

老师还没说完，学生就有话说.

生：12+22+32+…+n2=怎么来的？讲一下吧.

评注：当操作与思维情感联系起来时，操作便成为培养学生创新意识的源泉.“分组法”容易理解，为什么突然“冒出”12+22+32

+…+n2=呢？如果老师只告诉学生，课本第58页给出了这个公式，学生课后自己上网去了解它的推导，这样未尝不可，但却没能把学生的思考引向深入.

师：这个问题还真令老师措手不及，不过，我想到了前面了解过的正方形数，我们是不是将图4中各个图案中的纸片也像刚才那样操作，垒成一个“塔”……

生：垒一个n层塔所需纸片数为12+22+32+…+n2.（太神了！）

师：求1+2+3+…+n时，用的是“倒序相加”法，即将1，2，3，…， 摆成一个三角形，然后顺时针旋转180°得到一个倒放的三角形，两者拼成一个平行四边形再求和，这种思维对于求12+22+32+…+n2的和是否会有启发呢？

生：尝试、讨论、合作、交流……

师：要摆成三角形状，要将所有数都摆完.

生：可是纸片中只有1，哪能得到n？

师：那我们就在纸片背面分别标上数字：1，2，3，4，…，怎么样？

评注：数学家波利亚说：“一个涌上脑际的念头，倘若毫无困难地通过一些明显的行动就达到了所求的目标，那就不会产生问题.然而，倘若我想不出这样明显的行动来，那就产生了问题.那就意味着要去找出适当的行动，去达到一个可见而不即时可及的目的.”“纸片只标有1，那就在背面再标数字！”新知识在学生的体验中自然而然产生.

实践证明，在体验中思考的数学课堂实践是受学生欢迎的，在体验中探究的形式进行教学，使学生“动”起来了、使数学课“活”起来了、学生的学习兴趣也提高了.这不仅培养了学生提出问题、分析问题、发现问题、解决问题的能力，也培养了学生的科学探究和团结合作的精神.

参考文献：

[1]潘建国.在体验中“做”数学.数学通报，2006（5）：35.

[2]沈金兴.数学文化，课堂有你更精彩.数学通报，2009（4）：32.

（作者单位 广东省中山市东区中学）