可变抽样区间泊松EWMA控制图的经济设计

薛 丽

（郑州航空工业管理学院管理科学与工程学院，郑州 450000）

0 引言

在统计控制过程中，控制图被广泛地用来监控过程波动，当过程出现小波动时，EWMA控制图比传统的休哈特控制图有更好的监控效果[1]。为了提高控制图的监控效率，许多学者[2-4]把固定抽样区间的控制图推广到可变抽样区间的控制图，其中针对缺陷数服从泊松分布的情况下，丛方圆等[5]对可变抽样区间的泊松EWMA控制图进行了研究。尽管对可变抽样区间控制图的研究已经很多，对它们的经济设计研究却不多[6,7]。Chou&Chen[8]根据Lorenzen&Vance[9]模型研究可变抽样区间EWMA控制图的经济设计，他们的研究是针对计量型特性值。但在实际生产中，许多质量特性值是计数型数据，比如生产中的产品缺陷数。在考虑了监控过程的成本费用因素之后，本文针对产品缺陷数服从泊松分布的情况，对可变抽样区间EWMA控制图的经济统计进行研究。

1 可变抽样区间的泊松EWMA控制图

建立可变抽样区间泊松EWMA控制图的经济模型之前，先介绍可变抽样区间的泊松EWMA控制图的构造，具体过程如下：

设X表示生产过程中的单位缺陷数,通常情况下假设X服从参数为μ的泊松分布2,...其中μ为大于0的常数。当过程处于受控状态时,μ=μ0.当过程处于失控状态时，μ=μ1=μ0+μ0δ，其中δ为过程均值的偏移。若取样本容量为n，则在一个样本中的总缺陷数就可以表示为Y=x1+x2+...+xn.它服从参数为nμ的泊松分布要对这个过程进行控制,定义泊松EWMA统计量为:

其中，λ为平滑系数,Z0=μ0.泊松EWMA控制图的上下控制限为：

其中k1,k2分别是泊松EWMA控制图的上下控制限系数在此需要说明：在一般的控制图中，k1=k2.而由（1）式定义的泊松EWMA统计量Zt是一个非负数，当下控制限小于或等于零时,对过程均值的向下偏移就不会发出报警信号,即不能检测出过程的向下偏移,所以这时取k1≠k2是很有必要的。

泊松EWMA控制图的上下警戒限为：

其中w1,w2是分别泊松EWMA控制图的上下警戒限系数，且0＜w1＜k1，0＜w2＜k2.选取两个抽样区间h1和h2，且h1＞h2＞0，若样本点落在安全域(LWL≤Wi≤UWL),则下一个抽样区间为h1；若样本点落在警戒域（UWL＜Wi≤UCL或LCL≤Wi＜LWL）,则下一个抽样区间为h2；若样本点超出控制限（Wi＞UCL或Wi＜LCL）,则报警。

当用可变抽样区间泊松EWMA控制图监控过程均值变化时，需要确定八个参数VSI泊松EWMA控制图的经济设计就是通过使期望总费用最小确定这八个参数的最优值。

2 经济模型建立

Lorenzen&Vance所考虑的控制图的费用期望值包括：生产时期的质量费用；发生错误警报的费用；抽样和检查结果的费用；寻找异常原因和纠正过程的费用。根据不同的控制图计算这几部分的期望费用，然后除以平均循环周期，既可以得到经济设计的费用损失函数。其中过程循环周期定义为从过程开始受控到发生异常原因过程失控，发现失控状态和调查并消除异常原因纠正过程所经历的时间。

在建立可变抽样区间泊松EWMA控制图的经济模型之前，本文有以下几个假设：(1)设过程开始时处于受控状态μ=μ0;(2)失控前保持受控状态的时间服从参数为θ的指数分布；(3)过程失控时，直到发现和纠正它以前仍然处于失控状态；(4)在每个抽样区间内，最多存在一个异常原因发生使过程失控。在抽样时，异常原因不发生。根据Lorenzen&Vance的研究，把他们模型中的固定抽样区间h修改为平均抽样区间h0，建立可变抽样区间泊松EWMA控制图的经济模型，其中目标函数为期望总费用C，公式如下：

其中：a为每个样本的固定费用；

b为单元抽样的费用；

c1为过程受控时单位时间的质量费用；

c2为过程失控时单位时间的质量费用；

d为每次抽样和作图的时间；

g为错误警报发生的费用；

m为纠正异常原因的费用；

s为过程受控时样本的期望值，且

τ为过程受控时在两个样本之间异常原因发生的时间期望值，且

t0为寻找错误警报的时间期望值；

t1为发现异常原因的时间期望值；

t2为纠正过程的时间期望值；

ATS1为过程失控时发出信号的平均时间；

ANSS0为过程受控时控制图报警所需的平均样本数；

h0为平均抽样间隔，且h0=ATS0/ANSS0，其中ATS0为过程受控时发出信号的平均时间;

用马尔可夫链法可以得出ATS0和ATS1的计算公式[5]如下：

其中，k0表示中心线处于状态Ek0即过程在开始时处于第k0个状态。如果控制图的上下控制限系数k1=k2时，k0=m+1，即过程在开始时中心线处于状态Em+1.bi(i=1,...,2m+1)为统计量Zt处于状态Ei时所取的抽样区间，当状态Ei为安全域时，bi=h1；当状态Ei为警戒域时，bi=h2.定义：

同理

其中

同理，用马尔科夫链法可以得出ANSS0的计算公式如下：

其中，qij的公式与ATS0中的qij定义一样，如式(8)、(9)、(10).

通过前面的讨论可知期望总费用C是关于参数的函数，VSI泊松EWMA控制图的经济设计就是使期望总费用C最小确定这八个参数的最优值。

3 算例

z某一生产过程的质量特性值服从参数为μ的泊松分布，过程受控时μ=μ0=4，过程失控时μ=μ1=μ0+δμ0，这一生产过程可用VSI泊松EWMA控制图来监控。本例中的费用参数和模型参数分别如下：

a=$0.5,b=$0.1,c1=$20,c2=$100,g=$50,m=$20,d=0.05hr,t0=0.5hr,t1=2hr,t2=2hr,θ=0.01,γ1=γ2=1,δ=0.5.

在matlab（version 7.0）环境下编码遗传算法。所求控制图八个参数中，要求n为整数，h1,h2,k1,k2,w1,w2和λ为连续值。本例用遗传算法求解的过程如下：

(1)开始：满足所求参数限制条件的20个初始解被随便选取。每个参数的取值范围为：1≤n≤10,1≤h1≤3.5,0.01≤h2≤1,1≤k1≤4,1≤k2≤4,0.01≤w1≤3,0.01≤w2≤3,w1≤k1,w2≤k2,0.01≤λ≤1

(2)估计：计算适应性函数值来估计每个解的适应性。在本例中，适应性函数选择为期望总费用C.

(3)选择：在20个解中，挑选适应性好的染色体作为幸存者，组成下一代。费用高的染色体被费用低的染色体代替。

(4)交叉：随机选取一对幸存者作为父母，来交叉产生下一代新的染色体。本例中，我们应用算术交叉法，交叉率为0.8如下：D1=0.8R+0.2M，D2=0.2R+0.8M.D1为第一个新的染色体，D2为第二个新的染色体，R、M为父母染色体。如果20对父母被随机选择，则应有40个孩子产生。因此，人口会增加到60个。

(5)变异：假设变异率为0.1，因为我们有60个解，则能随机选择6个染色体（60*0.1=6）来变异一些实验参数。

(6)重复(2)到(6)，直到达到停止准则。本例停止准则为：运行到100代时算法停止。

在matlab环境下，运行遗传算法程序，当运行到100代时算法停止，得到最优参数值：,n=1,h1=2.84217,h2=0.67239,k1=2.22782,k2=1.94086，w1=0.11818,w2=0.10258,λ=0.08911,C=28.6091.

4 经济模型的最优性分析

假设某一生产过程的质量特性值服从参数为μ的泊松分布，过程受控时μ=μ0=4，过程失控时μ=μ1=μ0+δμ0，这一生产过程可用VSI泊松EWMA控制图监控。下面对基于经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图与统计方法设计的VSI泊松EWMA控制图进行比较。两种控制图如下：

（1）用统计方法设计样本容量n=3的VSI泊松EWMA控制图。固定受控平均报警时间ATS0，使失控平均报警时间ATS1最小来确定参数的最优值。

（2）基于经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图。根据经济模型（6）确定参数的最优值。

以上两种控制图都在十一种模型参数的条件下，分别计算期望总费用，然后进行比较。这是一个11因素两水平的试验，采用正交表L16(215)进行试验，共有16次试验，记录在表2。并且固定：γ1=γ2=1、t0=1，其中用统计方法设计的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用记为C1；根据经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用记为C，其计算结果记录在表3。下面固定n=3,k1=3,k2=3,w1=1.5,w2=1.5，分别计算λ=0.1，ATS0=100,150,200和λ=0.2，ATS0=300,400,500时，16次正交试验所对应的期望总费用C1，并记录在表3。

表1 11个模型参数的两种水平

结果显示：对于每种试验，基于经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用C均小于用统计方法设计样本容量n=3的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用C1，所以在每种试验下基于经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图是这两种控制图中期望总费用最小即最优的控制图。

表2 根据L16(215)安排的十六次试验

分别计算这两种控制图的期望总费用的平均值并记录在倒数第二行，结果表明基于经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用最小、最优。例如基于经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用C的均值为32.6357，当λ=0.1，ATS0=100时用统计方法设计样本容量n=3的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用C1的均值为34.4645，显然C＜C1。

表3 最优性分析结果

最后对平均值分别标准化即除以C的均值32.6357，并记录在最后一行。从全局的观点得出λ=0.1，ATS0=100,150,200和λ=0.2，ATS0=300,400,500时，基于经济模型设计的样本容量n=3的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用C，分别优于统计方法设计的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用C1的倍数。例如：λ=0.1ATS0=150时为1.0635，说明此时的期望总费用C1为经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图的期望总费用C的1.0635倍，即基于经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图优于统计方法设计的VSI泊松EWMA控制图1.0635倍。

由以上分析可以看出基于经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图是这两种控制图中期望总费用最小即最优的控制图。

5 结论

根据Lorenzen&Vance经济模型，对可变抽样区间泊松EWMA控制图进行了经济设计研究。使期望总费用最小，确定参数的最优值，并用遗传算法求解模型的最优解。通过最优性分析，得出基于经济模型设计的VSI泊松EWMA控制图比统计方法设计的VSI泊松EWMA控制图优越,具有较小的期望总费用。

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