库存竞争性产品批发合同的算例分析研究

杨建功

(广东金融学院 工商管理系，广东 广州510521)

一、引言

市场中存在一类产品，其特点就是该产品摆放在货架上的数量越多，需求就越旺盛。在过往的文献中一般把这类产品称之为外部需求依赖展示库存(shelf-space dependent demand)的产品，例如生鲜食品市场中的蔬菜水果，鱼类，蛋类，肉类产品等都具有如此特点。因为该类产品需求随库存量变化而随机波动，相对于通常经济学意义上的价格导致需求波动的价格竞争性产品，笔者将这类产品称之为库存竞争性产品。

许多文献从不同侧面将依赖于库存展示量的需求类型放在供应链系统中进行了深入的研究。其中，Wang，Y.和Gerchak，Y.在此方面成果显著。而供应链合同研究由来已久，Cachon曾对供应链合同方面的研究成果做了系统的总结和论述，对随机需求下简单二级供应链中的各种批发、收益分享以及折扣和补贴合同进行了梳理和研究。有关供应链合同的相关研究可参照该文献及其附录的参考文献，在此不再赘述。

本文在文献［8］的研究基础之上，考虑在集中供应链系统以及两类分散供应链系统——RMI和VMI下，建立库存竞争性产品的批发合同。在分散供应链系统中，供应链中的供应商和零售商双方以Stackelberg博弈方式来决定批发合同的最优结果。借助于数学软件Matlab，本文重点对三系统下的批发合同模型进行模拟运算，并对算例结果进行研究，比较分析三系统，尤其是两类分散系统下的库存竞争性产品批发合同的优劣及对供应链协调的影响。

二、建立模型

（一）需求模型

本文采用库存竞争性产品的随机乘法需求模型:

其中I为库存竞争性产品在零售商端的库存水平，且有0＜I≤¯I，¯I为一无限大的正数，ξ为需求的随机扰动项。

（二）模型总体描述

在此随机需求条件下，三系统的所有决策者都将面对单期库存决策问题，即“报童问题”(newsvendor problem)。在单一销售期开始之前，集中供应链的决策者考虑唯一决策目标值——最优库存水平I，而两分散系统中的决策者(供应商和零售商)以Stackelberg博弈方式决定最优的合同结果(w，I)，其中w为最优批发价格。零售商按照w从供应商处购进库存竞争性产品，在初始库存为0的前提下，I即为销售期开始前零售商端的最优库存水平。随着随机需求D(I，ξ)的到来，库存逐步消耗，在销售期结束后，三系统的决策者要在单一库存周期内发生的各类成本基础上进行收益核算，其中供过于求时，可能产生库存持有成本h，而缺货时，假设顾客全部同意延迟交货，则产生延迟交货成本b。此外，还不可避免地要考虑库存竞争性产品的市场销售单价p和供应商的单位产品获取成本c'。显然，三系统处于完全信息条件下，所有决策者以单一库存周期内的期望收益最大化为决策目标。

在本文的供应链批发合同模型中，还引入了货架空间的获取成本R(I)，包括货架空间的单位成本与放弃该货架空间的机会成本等。分析表明引入该成本只是出于现实的考虑，并不对结果有显著直接影响。因为若不如此，在无成本的条件下无限扩大库存竞争性产品的展示库存，必然是所有决策者的一个选择倾向，但现实显然是不允许的。

除特别声明外，本文中所有参数都非负，而上文中提到的批发价格w，与售价与获取成本之间必然存在p＞w＞c'＞0的关系。

下面我们将建立三系统的库存竞争性产品的批发合同模型。

（三）批发合同建模

1.集中式供应链系统

当整个供应链由单个主体所有并控制，供应链系统即面临集中化决策时的优化问题，整个供应链的期望收益为:

其中E(·):随机变量期望算子;(x)=max(x，0)。

2.RMI供应链系统

RMI是在传统供应链的库存管理方式上把寄售的因素考虑进来是一个接近现实的模型描述，即供应商以单位成本c'生产或获取I单位的库存竞争性产品，并以单位批发价w，按寄售方式摆放到零售商提供的货架空间上，零售商则以单位价格p出售产品，以满足随机产生的需求D(I，ξ)。至库存期末，没有售出的产品产生单位持有成本h，在寄售条件下，持有成本由供应商承担。而没有满足的需求则全部延迟交货(backorder)，即不存在销售损失，产生延迟交货单位成本b。一般来讲延迟交货成本应由供应链双方共同承担，即有b=b+b，以强调供应商对零售商销售努力程度的关注和激励。在本模型中，我们则对此进行简化，由零售商单独承担所有延迟交货成本。

那么，在需求模式D(I，ξ)为供应链双方共同知识，初始库存为0时，供应商和零售商的期望收益分别为:

3.VMI下的供应链系统

VMI环境下，最优供货水平显然应当由供应商来考虑，而此时零售商应关注批发合同中的批发价格的制定，即使批发价格的定价权仍然属于供应商，但最终的价格水平要由零售商认可和接受，否则，一方面无法达成有效的供应链合同，另一方面零售商也完全失去了对供应商的控制与影响。因而从某种意义上说，批发价格是VMI环境下零售商的决策变量，因而此时供应商和零售商的期望收益函数分别为:

三、模型性质

对此，首先必须明确随机需求方程(1)中α(I)的性质:

(1)α(I)是关于I的非负非减函数，即有:α(I)≥0，α'(I)≥0;

(2)α(I)是凹函数，即有:α″(I)≤0;

而货架空间展示成本R(I)是关于I非负递增凸函数，即有:R(I)≥0，R'(I)＞0，R″(I)≥0。

上述性质都是对现实情形的模型化处理，在此不再赘述。

而随机需求方程(1)中ξ为一定义于区间［0，∞)的随机变量，φ(·)和Φ(·)分别为其密度函数和累积分布函数，且有φ(·)＞0，即Φ(·)是严格递增的随机分布函数。η≥0为随机变量的ξ的期望值。

其次，需要细化上述期望收益函数中的E(I－D)、E(D－I)和E(min(I，D))，它们分别为期望库存持有成本、期望拖后交货成本和期望销售量:

对此我们可以得出如下推论:

推论库存竞争性产品的期望销售函数G(I)与期望库存持有成本函数H(I)具有如下性质:

(1)G(I)为其定义域内正的严格递增凹函数，即有G(I)＞0，G'(I)＞0，G″(I)＜0，且G'(0)=1，G'(∞)⇒0;

(2)H(I)为其定义域内的严格凸函数，即有H″(I)＞0，且有H'(0)=0，H'(∞)⇒1。

此推论经过简单数学推导不难证明，在此略过。

而对于S(I)的性质，根据上述推论，有两个结果:(1)ηα″(I)＜S″(I)≤0;(2)S″(I)＞0，而根据现实环境下成本函数的普遍凸性，我们剔除第一种情形，规定S″(I)＞0，从而确定S(I)的严格凸性，至少这一性质保证了上述推论中G(I)的性质成立。

最后，我们可以在此推论的基础之上，证明上述供应链模型中的各个期望收益函数俱为定义域内的严格凹函数，比如其中:

可以化为:

四、模拟运算

由此可得期望销售量，期望库存持有成本，以及期望延迟交货成本函数:

利用上述方程，借助数学软件Matlab6.0，进行本文供应链合同模型的数值算例研究。对此需要明确数值算例计算和演示的一个基本思路，即保持库存竞争性产品的外部市场价格参数p不变，通过调整内部主要成本参数，如产品获取成本c'，库存持有成本h和延迟交货成本b，以及需求随机扰动项ξ的特征参数H，以观察三种供应链系统的最优库存水平及各个期望收益值之间的变化关系情况。由此得到如下的数值结果:

五、算例分析

首先模型各参数的变动对系统决策变量及优化目标值的影响呈现如下特点:

表1 算例结果

六、总结

本文按照供应链合同研究的基本范式，在完全信息条件下，以集中供应链系统为基准，针对RMI和VMI系统中的供应链成员的Stackelberg式顺序博弈行为，建立了三系统下关于库存竞争性产品的批发合同供应链模型。通过建模和相应的数值模拟运算，表明在一定的条件下，VMI下的批发合同相对于传统的RMI系统在供应链协调方面具有一定的优势。

此外通过数值算例，还说明对于库存竞争性产品来说，在采用批发合同的VMI系统中，要求零售商有很强的产品议价能力，而供应商要有较强的供应链库存管理能力，能够最大限度地降低库存成本来实现产品的赢利目标。也就是说零售商的市场控制能力和供应商的库存管理能力是成功采用库存竞争性产品的VMI批发合同的重要前提，这同时是库存竞争性产品的VMI批发合同所具有的管理学意义。

一般性的价格竞争性产品的批发合同在供应链管理中是最直观和最常见的供应链合同，但却是非供应链协调的，本文的建模分析结果表明库存竞争性产品的批发合同具有协调供应链的理论可能，即从协调性来说RMI、VMI和集中式系统三者在理论上并没有绝对占优的选择，但数值算例的结果指出在一定的合理范围内(如适当的成本参数设定下)，三者的协调性由低到高的顺序是RMI、VMI和集中式系统，但VMI系统优于RMI系统的前提却是在供应商收益分享状况明显恶化的前提下实现的，因此按照Cachon的研究结论，同时也通过数值算例结果展示，当零售商以提高批发价格的方式向供应商提供转移支付时，供应链从VMI的实施中得到明显改善。

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