一次数学教研活动引发的探究

☉贵州省绥阳县小关中学 梁可霜

在一次数学教研活动上，笔者遇到了这样的问题：“有一个三角形，其内角分别为：20°，40°，120°.怎样把三角形分成两个等腰三角形？画出图形，试试看，将此题从特殊推广到一般，可变为△ABC满足什么条件，可以用过顶点的一条直线将它分割成两个等腰三角形？如何分？有几种分法？笔者对此问题进行了探究，现写出来以供同行参考.

笔者认为，过最小角的顶点的直线不能把原来的三角形分割成两个等腰三角形.这个“问题”与角有关，所以我们不妨从角的角度去思考，应当首先找到度数最小的角（后面简称“最小角”，其次，度数最大的角简称“最大角”，介于两者之间的角简称“次大角”）.

已知：如图1，△ABC中，∠ABC＜∠A，∠ABC＜∠C，∠ABC是△ABC中的最小角，过点B的直线BD把△ABC分割成△ABD和△CBD，则两个三角形不可能同时是等腰三角形.

图1

证明： 在△ABD中，∠A＞∠1，∠3＞∠C＞∠ABC＞∠1，在△CBD中，∠C＞∠2，∠4＞∠A＞∠ABC＞∠2，可见，只剩下∠3=∠A，∠4=∠C的可能性了，那么它们能不能同时成立呢？因为∠3+∠4=180°，所以∠A+∠C=180°，显然这个结论是不可能的，所以，∠3=∠A与∠4=∠C不能同时成立.

于是得出以下结论：

结论1：过最小角的顶点的直线不能把原来的三角形分割成两个等腰三角形.

结论2：三角形有三个相等的最小角，分割该等边三角形为两个较小的等腰三角形的直线不存在.

结论3：只有三个角都不相等和仅有两个角相等的两类三角形才有可能被分割成两个等腰三角形.

下面，我们先从三角形三边都不相等的三角形开始研究，还需要附加什么条件，使一个三角形具有过某个顶点的一条直线将它分割成两个等腰三角形.

如图2，在△ABC中，∠B＜∠ACB＜∠BAC，∠B为最小角，不能再分割，那么∠B将成为分割△ABC后得到的其中一个等腰三角形的角，运用分类讨论思想，∠B可能是这个等腰三角形的顶角，也可以是底角，并且当∠B是底角时，又可以分为两类：以AB为底边或以BC为底边.可见，就∠B而言，先分三大类：

1.当∠B为顶角时，以B为圆心，BA长为半径作弧，交BC于D，作直线AD把△ABC分割成△ABD和△ACD，显然△ABD是等腰三角形，欲使△ACD成等腰三角形，又可以分为三种情况考虑：∠C=∠DAC，或者∠C=∠ADC，或者∠DAC=∠ADC.但是，结合图形仔细分析一下，因为∠ADB是锐角，所以∠ADC是钝角，显然只有∠C=∠DAC成立.

图2

可以看出，当最大角是次大角的3倍时，从最大角中分割出一个与次大角相等的角，并且要求这个角与次大角有一条公用边，那么分割最大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形.

2.当∠B为底角且以AB边为底边时，作AB的垂直平分线DE交BC于点D，作直线AD，显然△ABD是等腰三角形，欲使△ACD成为等腰三角形，也可分为三种情况考虑.

图3

（2）当∠B为底角且以AB边为底边时，若∠C=∠ADC，设∠B=α（如图4），则∠C=∠ADC=2α，所以∠C=2∠B.可以看出，当次大角是最小角的2倍时，从最大角中分割出一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公共边，那么分割最大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．

图4

图5

（3）当∠B为底角且以AB边为底边时，若∠DAC=∠ADC，设∠B＝α（如图5），则∠DAC=∠ADC＝2α，所以∠BAC=α+2α=3α=3∠B.可以看出，当最大角是最小角的3倍时，从最大角中分割出一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，那么分割成最大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．

3．当∠B为底角且以BC边为底边时，作BC的垂直平分线DE交AB于点D，过C、D两点的直线CD把△ABC分割成△BCD和△ACD（如图6），显然△BCD是等腰三角形，欲使△ACD成等腰三角形，又可以分为三种情况考虑：∠A=∠ACD，或者∠A=∠ADC，或者∠ACD=∠ADC.但是结合图形分析一下，因为∠A为最大角，∠ACB为次大角，所以淘汰掉∠A=∠ADC．

（1）当∠B为底角且以AB边为底边时，若∠A=∠ACD，设∠B＝α，（如图6），则∠A=∠ADC＝2α，所以∠A=2∠B，可以看出：当最大角是最小角的2倍时，从次大角中分割出一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，那么分割次大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．

图6

图7

（2）当∠B为底角且以BC边为底边时，若∠ACD=∠ADC，设∠B＝α（如图7），则∠ACD=∠ADC=α+2α=3α，显然∠ACB=3∠B.可以看出，当次大角是最小角的3倍时，从次大角中分割出一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，那么分割次大角的这条直线把原来的三角形分割成两个等腰三角形．

综上所述，三个角都不相等的三角形分割成两个等腰三角形的情形如下：

情形1：有一个角是90°.分割的方法：作斜边上的中线所在的直线．

情形2：有一个角是另一个角的3倍（笔者为了能描述清楚，令这里的较小角叫“单倍角”，较大的角为“三倍角”）.有三种可能：最大角是最小角的3倍，或次大角是最小角的3倍，或最大角是次大角的3倍.分割方法：从三倍角中分割出一个与单倍角相等的角，并且要求这个角与单倍角有一条公用边，即与这个角以单倍角为两个内角构成一个较小的等腰三角形．

情形3：有一个角是最小角的2倍（笔者令这里的较大角叫“二倍角”，最大的角为“三倍角”，并且强调一下：必须是最小角的2倍）.有两种可能：最大角是最小角的2倍，或次大角是最小角的2倍．分割方法：从第三个角（除最小角和“二倍角”）中分割出一个与最小角相等的角，并且要求这个角与最小角有一条公用边，即以这个角与最小角为两个内角构成一个较小的等腰三角形．

值得注意的是：当三角形的三个内角满足上述的多种情形，比如既有3倍关系，又有2倍关系，那么分割方法可能不唯一．

接下来，我们研究：两个角相等的等腰三角形，还需要附加什么条件，使该等腰三角形能分割成两个较小的等腰三角形．

（1）当该等腰三角形只有一个最小角时，最小角必是顶角，另外两个较大角是底角，如果我们把两个相等的较大的底角，一个看成是最大角，另一个看成次大角，那么该等腰三角形上也有上面情形2、3的分割方法，只是要多考虑到等腰三角形的轴对称性，分割该等腰三角形为两个较小的等腰三角形的直线有两条，研究过程与上面相似，这里就不一一叙述了．

（2）当该等腰三角形有两个相等的最小角时，第三个角必是最大角且是顶角，两个相等的最小角是底角，如果我们把两个相等的最小的底角，一个看成是最小角，另一个看成次大角，那么该等腰三角形也有上述情形1、2的分割方法，当为情形2时，也要考虑等腰三角形的轴对称性，研究过程与上面相似，这里省略．

问题1：在△ABC中，若过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，求△ABC各内角的度数．

解析：①如图8，在△ABC中，若底角是顶角的2倍，设∠A＝α，∠B=∠C＝2α，则α＋2α＋2α＝180°，α＝36°，三内角的度数分别为：36°、72°、72°．

②如图9，在△ABC中，若顶角是底角的2倍，设∠B=∠C＝α，∠A＝2α，则α＋α＋2α＝180°，α＝45°，三内角的度数分别为：90°、45°、45°．

③如图10，在△ABC中，若顶角是底角的3倍，设∠B=∠C=α，∠A=3α，则α+α+3α=180°，α=36°，三内角的度数分别为：108°、36°、36°.

图8

图9

图10

问题2：如果一个三角形有一个内角为40°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，则该三角形其余两个角的度数是多少？

解析：①首先考虑，当这个三角形是直角三角形时，其余两个角的度数是50°和90°.

②当这个40°的内角为最小角时，另外两个较大的角可能与最小角有2倍或3倍关系，或者最大角是次大角的3倍，所以所得其余两个角的度数为60°和80°.