培养学生数学问题表征能力“三部曲”

☉江苏省常熟市浒浦高级中学

江苏省常熟市殷伟康名师工作室 殷伟康（特级教师）

“问题表征是指根据问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己问题空间的过程，也是把外部的物理刺激转变为内部心理符号的过程”［1］.数学问题表征能力就是指能够准确表征数学问题的程度，这种表征能力的高低决定着学生数学理解能力的发展水平.因此，在数学教学中，要加强学生数学问题表征的训练，创设展示学生进行问题表征的情境，开展合理表征的辨析，提升问题表征质量，发展学生数学问题表征能力.本文试从“训练表征表达——展示表征过程——交流多维表征”三个层次阐述培养学生数学问题表征能力的途径.

一、训练学生问题表征的表达能力，提高问题表征的准确性

著名心理学家西蒙指出：“表征是问题解决的一个中心环节，它说明问题在头脑里是如何呈现的，如何表现出来的.”问题表征从形式上来看可分为两种：一种是内在表征，即学习者将外在的问题信息转化为头脑中内在的命题形式，其外在的表现就是学习者能用自己的语言陈述问题的条件和目标；另一种是外在表征，即将问题以文字、符号、图形、图表、模型等具体形式表示出来.其外在表征常见的几种形式：语言表征、符号表征、图形表征和情境表征等.因此，在课堂教学中教师要注重引导学生把握表征取向，加强问题表征的表达训练，提高问题表征的准确性.如在学生数学概念形成的教学阶段，教师要有针对性地创设情境，使问题表征尽可能和数学概念原型相匹配，帮助学生加深对数学概念的理解和促进学生对数学知识的建构.

问题1：在函数单调性教学中，教师应当有意识地运用多元表征理论展示其多种不同的表征形式，让学生了解数学问题表征的特点和主要形式，进行问题表征的表达训练，让学生逐步掌握问题表征的要领，促进学生建立数学概念的多元表征和深层次理解函数单调性.以函数f（x）=x2-2x为例，阐述其在区间［1，+∞）上的单调性（单调增函数），组织学生进行图形、语言和符号等表征形式的训练，提升学生问题表征的表达能力.

图1

图形表征：函数f（x）=x2-2x在区间［1，+∞）上的图像是上升的（如图1）.

这种表征便于从整体上以图形的方式直观地描述函数单调性.

语言表征：当x在区间［1，+∞）上取值时，随着x的增大，相应的f（x）值也随着增大.这种表征有利于“函数单调性”这一抽象概念被学生感知和理解.

符号表征：当x1，x2∈［1，+∞）且x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）.这种表征有利于从图形感知转向解析关系的认知，促进学生思维活动的有效发展.

学生表征：由上面单调增函数的符号表征可知，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，所以函数g（x）=（a-2）x-1在（-∞，1］上单调递增，函数h（x）=logax在［1，+∞）上也是单调递增.于是原问题转化为“函数y=g（x）和y=h（x）在各自范围中都是增函数时，求实数a的取值范围.”

有效追问能激发学生进行深层次思考，通过辨析和反思，对单调增函数的内涵有了更透彻的理解，要确保函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，除了“函数y=g（x）和y=h（x）在各自范围中都是增函数”外，还要满足“g（1）≤h（1），即（a-2）×1-1≤0”.此时，可以重新让学生进行问题表征.所以理解题意是正确表征的基础，把握数学概念的内涵和外延是理解题意的前提.

通过问题表征的专题说题训练，不仅可以提高学生表达问题的表征能力，而且还能使学生对数学问题的表征形成直觉和积累经验，从而提高学生对问题的深层理解能力和问题表征能力.

二、展示学生问题表征的思维过程，提高问题表征的合理性

问题表征作为解题过程的起点，对数学问题作出的表征是否恰当、合理，对数学问题能否有效解决有着重大且直接的影响.在教学中，大部分教师只注重学生的思维结果，而忽视学生对问题表征的思维过程，从而导致学生对数学问题的认识处于浅层次的理解.因此，在将数学问题展现给学生的时候，要注重创设学生思考、探究问题的时空，为学生问题的解决提供“问题表征”的充足时间，同时还要重视展示学生问题表征的思维过程，分析表征中的错因，提取和激活其合理成分，让学生自觉对其思维过程做出调整，修正、完善问题表征.

学生中常见的两种“颇有争议”的数学表征：

学生表征1：集合M表示二次函数y=2-x2，集合N表示二次函数y=x2，求M∩N就是求上述两个二次函数的交点坐标的集合.其解题思路如下：

学生表征2：集合M与N的代表元素是y，是二次函数的函数值组成的集合.求集合M与N的交集就是要找出公共元素，即找出M与N两个集合中一样的“y”值.而这两个集合中的“y”分别等于“2-x2”和“x2”，所以2-x2=x2，解得x=±1，回代y=2-x2或y=x2，得到y=1，所以M∩N={1}.

学生表征1的错因是对集合的代表元素的含义理解得不透彻，导致问题表征出错.学生表征2的错因是没有认识到集合M与N中的x和y并不是指某个具体的值，而是变量.求交集的实质就是要找出两个集合中一样的“y”值，但是两个集合中一样的“y”值不一定是由相同的“x”产生.

通过展示学生问题表征的思维过程，引发学生进行思维交锋，让学生在辨析、争论中调整、修改和完善数学问题的表征，逐步形成合理的数学表征.求M∩N的实质就是求集合M与N中一样的“y”值，集合M与N中“y”分别表示二次函数y的取值范围.故

在问题解决过程中，随着自主探究、交流等数学活动的展开，获得信息的不断积累，学生会结合自身储存的信息（知识与经验）主动地重构问题表征，其数学表征往往从不恰当表征过渡到合理表征，为解题思路寻找到突破口.

三、创设问题多维表征的交流平台，提高问题表征的灵活性

问题多维表征是解题思路产生的源泉，正确的语言表征是理解问题的前提条件，准确的符号表征是问题解决的信息储存和加工过程的有效表现形式，适当的图表表征有助于问题的形象直观思考，合理的模式表征有助于简约问题解决的思维长度.在教学过程中，教师要运用启发性提示语：“你能否根据自己的联想用适当的方式将问题进行重新表征？”“在遇到困难的情况下，你能否变换问题的表征形式，调整解题思维方向？”激活学生原有的知识块，通过联想，诱发学生进行多维表征，并能根据解题的需要与情境的变化做出灵活的转换.

问题4：已知f（x）=log2（x-2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值为______.

通过分析可知，由已知log2（m-2）+log2（2n-2）=3，即log2［（m-2）（2n-2）］=log28，从而得到（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1）.此时，教师要通过适当的提示语，启发学生运用已有的知识与经验，灵活表征问题.并展开对问题进行多维表征的交流，让学生学会变通地表征问题，把握问题的实质.

（这种表征，学生马上联想到运用求导方法或基本不等式方法进行求解.）

（这种表征，学生自然会想到运用基本不等式进行求解，但要引导学生注意等号成立的条件.）

表征3：令m+n=s，则m=s-n，代入（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1），得到关于n的二次方程n2-（s-1）n+s+2=0.于是原问题转化为“关于n的二次方程n2-（s-1）n+s+2=0在n∈（1，+∞）上有实数解时，求s的最小值.”

这种表征，学生可能会束手无策，不会将n2-（s-1）n+s+2=0看做关于n的二次方程，若将此式直接改写成x2-（s-1）x+s+2=0在x∈（1，+∞）上有实数解时，求s的最小值.这时，学生会联想到运用判别式法进行求解，教师要强调求出最小值后一定要注意检验.

表征4：从图形表征考虑，由反比例函数及图像平移知识可知，（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1） 表示双曲线一支（如图2），令m+n=s，则其表示斜率为-1的直线.于是原问题转化为“直线m+n=s与曲线（m-2）（n-1）=4（m＞2，n＞1） 有公共点时，求s的最小值.”

图2

这种表征，学生很快就会从图像中发现，当直线与曲线相切时，s有最小值.

由此可知，由于对同一数学问题的表征方式不同，使得问题解决的难易程度及效果也不同，适宜的问题表征可以减少运算量，缩短思维过程，优化解题过程.因此，通过对数学问题的多维表征的交流，让学生把握各种表征的特性与局限性，辨析数学问题的实质，相互启迪思维，提高学生思维的灵活性，进而获得合理的解题方案.

总之，在数学教学中，教师首先要引导学生积累知识与数学活动基本经验，丰富学生的知识与经验，为提高学生数学问题理解和表征能力奠定坚实的基础；其次，教师要注重开发学生的元认知，增进学生的元认知体验，促进学生学习迁移能力的发展；第三，教师要把握数学表征能力的四个层次：复现式的表征能力、转述式的表征能力、分析式的表征能力和概括式的表征能力，有计划、有目的地进行问题表征的训练活动，发展学生直觉思维能力和数学语言转换能力，从而深化学生数学问题表征能力的培养.

1.胥兴春，刘电芝．问题表征方式与数学问题解决的研究［J］．心理科学进展，2002（3）：264-269．

2.郭秀玲，李忠海．学生数学问题表征能力分析［J］．中国数学教育（高中版），2008（9）：2-4．

3.毛良忠．探究多元表征途径合理解决问题［J］．中学数学教学参考，2012（1/2）：43-45．