浅谈初中数学解题与析题——巧添辅助线，化难为简易

☉浙江省嵊州市教研室 蔡建锋

嵊州市从2012年开始进行了32学时教师专业发展培训，其中举办了两期的初中数学解题与析题的培训班，通过培训提升本市初中数学教师的解题基本功与析题的教学能力.以下是以《巧添辅助线，化难为简易》为主题的专题讲座内容，供同行共同研讨.

数学教师离不开解题与析题，析题比解题更为重要.在课堂教学中，教师要讲好例题，首先教师自己要在课前做好题，只有在自己亲身做题后才会感悟出解题的思路、方法和注意的问题，因此说，解题是析题的基础.解题与析题既有联系也有区别.解题是以教师为主体的个人行为，一般由教师自己独立完成，而析题的主体是学生，教师的析题除了考虑题目本身，还要根据学生的现有认知程度、年龄特点来析题.析题的重点要放在揭示解题中的分析过程和暴露教师自己在解题中所遇到的困惑，反思题目内在的本质特点、所涉及的知识点和解题的规律、数学思想方法.

一般地讲，除了简单的几何题求解或证明，大都必须添加不同的辅助线.而添加辅助线的方法千变万化，故它成为平面几何中解题、证题的关键和难点.添加辅助线的主要目的在于沟通已知和结论之间的逻辑通路.对题设条件所给定的图形进行分析，在沟通条件与结论间的逻辑通路上架起一座思维的桥梁，从而实现由已知条件向所求结论的过渡，达到解题的目的.解题如过江，没有桥或没有船便难以通过，添加辅助线，犹如提供了一座桥或一条船.辅助线一般都用虚线表示.添加辅助线要注意以下几个原则.

一、揭示隐含条件的原则

对一类条件与结论间逻辑关系不明朗的命题，通过添加辅助线，将条件中所隐含的有关图形的性质充分显示出来，从而扩大已知条件，以便取得有关过渡性的推论，从而达到推导出结论的目的.

案例1：如图1，在△ABC中，AC＞AB，在AC上取一点D，使CD=AB，E为AD的中点，F为BC的中点.连接FE交BA的延长线于G.求证AE=AG.

图1

图2

分析：从已知条件看，已知相等线段CD=AB，与求证线段AE=AG，没有直接关联.由于AB、CD位置分散不易直接观察到，添加辅助线使分散状态相对集中，它们之间的联系由隐蔽变为明显.已知中给出了两条线段的中点，但这两个点是错位中点，连接起来不是某个三角形中的中位线，因此要想办法充分发挥中点的作用.通过添加三角形的中位线，从CD=AB的条件推出等腰△OEF，过渡到等腰△AEG，从而证明AE=AG.

由CD=AB，得OE=OF，则∠3=∠4.

又∠1=∠3，∠4=∠2，故∠1=∠2，

故AE=AG.

图3

图4

二、聚拢集中原则

对一类题设条件所给图形的有关元素间的位置比较分散，不能直接由已知条件推出结论的题，要通过添加适当的辅助线，将图形中分散的元素，通过变换和转化，使它们集中到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑联系，从而导出要求的结论.

案例3：（2012年北京市昌平区初三期末试题）如图5，已知点P是正三角形ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.

分析：由于已知条件所给的三条线段分散在图形中各处，不易利用，所以直接计算∠APB的度数比较困难，因此应该设法将这三个条件相对集中.

图5

图6

解析：如图6，将△ABP以A为旋转中心逆时针旋转60°，为△ACE.

由∠EAP=60°，AP=AE，得△APE是等边三角形.

则PE=AP=3，∠AEP=60°.

由CE=BP=4，PC=5，得PC2=CE2+PE2，则△PEC是直角三角形，∠PEC=90°.∠AEC=∠AEP+∠PEC=60°+90°=150°.

∠APB=∠AEC=150°.

案例4：（2011年湖北黄冈市中考试题）如图7，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D是AC边的中点，过D作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE=4，FC=3，求EF的长.

分析：从图中看到，已知线段AE、CF与所求线段EF分散在三个三角形中，没有直接关联，因此想办法通过添加辅助线，将图形中分散的已知和所求，通过变换和转化，使它们相对集中到同一个三角形中.

图7

图8

解析：如图8，连接BD.

等腰直角三角形ABC中，D为AC边的中点，

则BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°.

由∠C=45°，得∠ABD=∠C.

由DE⊥DF，得∠EDF=90°，即∠EDB+∠BDF=90°.又∠CDF+∠BDF=90°，则∠FDC=∠EDB.

则△EDB≌△FDC，所以BE=FC=3.

AB=7，则BC=7，BF=4.

在直角三角形EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42=25，则EF=5．答：EF的长为5．

三、化繁为简的原则

对一类几何试题，其题设条件与结论在已知条件所给的图形中逻辑关系不明朗，通过添加辅助线，把复杂图形分解成几个基本图形，从而达到化繁为简，化难为易的目的.利用割补法解题，不仅可以达到化不规则为规则、化繁为简的目的，使问题的解法简单流畅、别具一格，而且还可以开拓学生的思路，提高解题能力，对学生学习兴趣的培养也大有裨益.

案例5：如图9，阴影部分是由4段以正方形边长的一半为半径的圆弧围成的图形，这个图形被称为斯坦因豪斯图形.若图中正方形的边长为a，则阴影部分的面积为________.

图9

分析：阴影部分是不规则的图形，无法用已学的图形的面积公式直接解决，需要添加辅助线，把不规则图形进行分割转化，用间接求解的方法加以解决.

图10

图11

分析：分别过点A、D作直线BC的垂线，垂足为M、N，过点A作AE⊥DN，通过添加辅助线，把不规则的图形转化成几个特殊的基本图形，从而通过特殊图形的性质来求解问题.

图12

图13

四、发挥特殊点、线的作用的原则

在题设条件所给的图形中，对尚未直接显示出来的各元素，通过添加辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形的性质恰当地揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易，导出结论的目的.

案例7：（2013年嵊州市中考模拟试题）已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，连接BD和EC，点M、N分别为DB、EC的中点.

（1）当点E在AB上，且点C与点D重合时，如图14所示，MN与EC的位置关系是________；

（2）当点E、D分别在AB、AC上，且点C与点D不重合时，如图15所示，试说明MN⊥EC；

（3）在（2）的条件下，将Rt△AED绕点A逆时针旋转，使得点D落在AB上，如图16所示，则MN与EC的位置关系还成立吗？请说明理由.

图14

图15

图16

分析：已知点M、N分别为DB、EC的中点，遇到中点的特殊点时，一般考虑通过找中点构造中位线，或通过找直角顶点构造斜边上的中线，充分发挥特殊点的作用.

解析：（1）MN⊥EC.

（2）如图17，连接EM、CM.由∠AED=∠ACB=90°，M是BD的中点，得EM=CM.在等腰△EMC中，N是CE的中点，则MN⊥EC.

（3）方法1：如图18，连接DN并延长交AC于G，连BG.由∠EDA=∠DAC=45°，得DE∥AC，则∠DEN=∠GCN.又∠DNE=∠GNC，EN=CN，则△EDN≌△CGN，则DN=NG.

MN是△GDM的中位线，则MN∥BG.

由AC=BC，CG=ED=AE，∠EAC=∠GBC=90°，

得△ACE≌△CBG，则∠ECA=∠GBC，则∠GBC+∠BCE=90°，则BG⊥EC，则MN⊥EC.

图17

图18

图19

则△MDE≌△MFC，则ME=MC.又N是CE的中点，则MN⊥EC.

（1）当AB=AC时，如图20，

①∠EBF=_______°；

②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明.

图20

图21

解析：（1）①由AB=AC，∠A=90°，得∠ABC=∠C=45°.

由BE⊥DE，得∠EBD=67.5°.

∠EBF=67.5°-45°=22.5°.

②如图22，作△BDE关于DE的对称图形△GDE，GD交AB于H.

图22

图23

在△BHG和△DHF中，

∠BHG=∠DHF=90°，

∠GBH=∠HDF=22.5°，∠ABC=∠HDB=45°⇒BH=DH，则△BGH≌△DFH，则BG=DF.又BG=2BE，则DF=2BE.

（2）如图23，作△BED关于DE的对称图形△GED，GD交AB于H.

五、构造特殊图形的原则

若在题设条件所给的图形中，具有某些特殊图的一些条件，通过添加辅助线，把它补成特殊图形，并充分发挥这些特殊图形所具有的特殊性质，导出一些重要的结论，从而达到解决问题的目的.

案例9：（2010年绍兴市中学高级教师考核试题）如图24，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=10，点M在边BC上，使得△ADM为正三角形.则△ABM与△DCM的面积和的值等于______.

分析：从已知直角梯形中，可知两个直角，两邻边相等，可以补充成一个正方形，利用正方形和正三角形的知识来解决问题.

图24

图25

解析：延长CD至E，使CE=BC，连接AE，则四边形ABCE为正方形（如图25）.易得△ABM≌△AED，则DE=BM.设BM=x，则DC=CM=10-x.又DM=AM，

则2（10-x）2=102+x2，化简得x2-40x+100=0，

案例10：（2012年全国初中数学竞赛试题）如图26，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为（ ）.

图26

图27

分析：从已知图形上看，含有一个等边三角形和一个30°角，通过构造有一个公共顶点的两个等边三角形的基本图形，得到两个基本结论：①△BCD≌△ACE；②BD=AE.从而使分散的已知条件，集中到一个直角三角形中，充分发挥了特殊三角形的作用.

解析：如图27，以CD为边作等边△CDE，连接AE.

由于AC=BC，CD=CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，

所以△BCD≌△ACE，则BD=AE.由∠ADC=30°，得∠ADE=90°.

所以CD=DE=4.