从题目变化看对推理意识的加强——以七年级下册《相交线与平行线》为例

☉山东省滨州市北镇中学初中部 邢成云

☉山东省滨州市北镇中学 张凤秀

原有的实验版教材，在安排上无形中淡化了对推理的要求，说是遵循螺旋上升的原则，实际上在七年级下册较少涉及演绎推理.现行修订版在本章的教学内容上基本保持不变，但适量增设了相关演绎推理类的题目，充实了演绎推理的阵容.本文即在研读的基础上，从具体题目的变化尝试探寻推理意识的有意加强，力图在感知变化、体悟逻辑规律的过程中做到理解课标、理解教材，从而更好地理解教学.

一、诸位名家对推理的定调

陈省身先生：“学生应该学会推理，推理很要紧，推理不仅在数学上，在其他学问里也是要用到的……整个数学就是建立在推理上的，所以数学厉害.推理出来的结果一定是对的，做个实验，机器不灵，材料不干净，结果可能不一样，但推理是同一个结果.”

杨乐院士：“凡是从事数学研究和数学教育的，都会对从中学学习几何时受到的严格的逻辑思维训练有很深的体会，似乎很难找到别的东西来代替它对中学生进行严格的逻辑思维培养.”

谷超豪院士：“数学成为各门科学可靠的工具，也正因为它具有最严谨最严格的特性……要学会严格推理是必须的，一定要逐步使学生适应这种严格的推理方式，并且在书写上能反映出来.特别是在几何的教学上，一定要重视这种逻辑的演绎，这也是训练逻辑推理能力的有效方法，是重视几何教学的一个原因.”

人教社李海东：“中学几何教学需要直观实验，但是不能只有它而没有逻辑推理，应做好从前者到后者的过渡，体现几何证明的教育价值.只有这样，才能发展学生的理性思维，使学生的思维水平得到应有的发展.”［1］

以上各位名家摆正了推理证明合法的、不可替代的身份，给我们初中数学的教学以方向的引领，同时，我们纵观古今不难发现，古希腊几何学家注重推理，更多的是依靠逻辑思维，所以才孕育出了欧几里得《原本》这样的具有里程碑意义的重要著作等.而我国古代的几何学家研究几何是为了实用，是唯用是尚的，所以才浮于浅层、行之不远.项武义先生一语道的：“唯用是尚，则难见精深，所及不远”［2］.综上我们不难得出一个观点：几何教学需要直观实验，但也需要逻辑推理，如果没有逻辑推理，那么对图形的认识将难以深入.

二、新教材外在的变化

《2011年版课程标准》和《实验稿课程标准》一样，强调了“获得数学猜想——证明猜想”的全过程，以及在这个过程中的合情推理和演绎推理.需要特别指出的是：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中.我们知道，在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.“大胆地猜想，小心地求证”就是对这两种推理关系的经典刻画，这两种推理不可或缺、不可偏废（上文已获得的认识），但原实验教材有重“合情”轻“演绎”之嫌，对推理证明的弱化已成不争的事实.

我们知道，原实验版人教教材对推理要求的总体设计，是按照这么一个思路逐步发展的：开始是对某一个局部的问题，说点儿理；然后，逐渐地扩大到对一个重点部分稍微长一点地完整地说理；到对一个问题完整地说理（推理）；最后，进入到符号表示形式上的一个问题的完整说理（推理）.原实验版人教教材八年级，在讲三角形全等的时候，才逐步进入到最后一个阶段，用符号形式来表示完整的说理，笔者认为“角色”进入的较晚，不利于学生演绎推理意识的形成，甚至停留在实验几何的层面.而现行修订版教材，从七年级下册P14的例题解答开始，抽象的推理符号就“闪亮登场”了.可见，对推理的提早渗透、迁移，首先体现在这种外在的变化，即由原来的文字“因为”，“所以”换成了符号“∵”，“∴”，这应然是对原实验版教材对推理表达力度不够的外在驱动.

另外，在本章《小结》的回顾与思考栏目中，明确给出了一段话“……还要注意体会通过‘推理’获得数学结论的方法，培养言之有据的习惯和有条理地思考、表达的能力.”把推理一词摆在了桌面上，突出了推理的地位，这些闪烁于字里行间的变化，无不透射出对“推理”的加强.当然这里的推理并不只是演绎推理，还有合情推理的成分，它们的联手才会彰显出推理的魅力.

三、题目的增设

相关推理题目的增设，给了我们一个显性的拉动，这些题目给了学生尝试的机会，充分体现了例题示范引领、练习呼应对接、习题推动配合、复习题进一步落实的联动场景，它们的携手对学生推理意识的培养大有裨益.

1.例题的引领

例题是经过课程专家精挑细选而来的，本身具有典型性，有着多方面的教学功能，它承载着本节课的知能、技法以及思想方法等，起着规范、引领之用.

P21的例2是新增例题，它第一次以规范的形式展示了逻辑推理的过程，直接把推理推向了前台，旗帜鲜明地给证明以合法身份，从此，证明登堂入室，规范的演绎推理拉开了序幕，这种推理的迁移并非新创，其实也是对演绎推理的回归，捡拾回了原来被散落的“珍珠”.

P21的例2 如图1，已知直线b∥c，a⊥b.求证：a⊥c.

证明：因为a⊥b，（已知）

所以∠1=90°.（垂直的定义）

又b∥c，

图1

所以∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等）

所以∠2=∠1=90°，（等量代换）

所以a⊥c.（垂直的定义）

例2的规范呈现，外加对“证明”的旁注，明确了什么叫推理，其根据是什么条件等，并在例2之后，通过例子说明了怎样证明一个命题是假命题，这样对证明的认识就更加全面了.

2.练习的呼应

修订版教材P22的练习1是对原实验版的替换，原有的1题仅是要求指出命题的题设和结论，而现在修订版的练习1是填写推理的理由.

练习1 在下面的括号内，填上推理的根据.

如图2，∠A+∠B=180°，求证：∠C+∠D=180°.

证明：因为∠A+∠B=180°，

所以AD∥BC，（ ）

所以∠C+∠D=180°.（）

可见，通过规范的格式把一个简单的两步推理摆了出来，在渗透格式的同时，对平行线的判定3和性质3作为推理的依据进行了识辨性巩固，这种对推理的渗透，除了让学生明白推理必须有理有据外，还要引导学生感知推理，体悟推理，为学生独立推理证明做出了铺垫，显然是对本章小结中明确提出的“培养言之有据的习惯”的落实.

图2

3.习题的推动

相对应，在P23-24的习题5.3中增加了第6题和第13题，二题分属于“复习巩固”与“综合运用”两个不同栏目，充实了习题的内容，它们承载的都是对推理的渗透，不过有层次之别，第6题仅是要求填写证明的理由，而第13题是要求完成证明，它通过留白的方式引导学生学步推理，并填写理由，这种步步为营的递进式渗透，符合学生的心理特点与认知规律，合情合理.

以下分别对这两道题目作一分析.

P23的第6题 在下面的括号内，填上推理的根据.

如图3，AB和CD相交于点O，∠A=∠B，求证：∠C=∠D.

1.2.2 联合组 联合组患者接受腹腔镜术联合GnRH-α治疗，腹腔镜术治疗方法同单独组，同时在术后第3天开始给予患者肌内注射3.75 mg GnRH-α(达菲林,规格 :10×200 μ g，生产厂家：英国捷利康有限公司,批准文号：国药准字H20040447)，每4周1次，3次为1个疗程，停药后开始试孕。

证明：因为∠A=∠B，

所以AC∥BD，（ ）

所以∠C=∠D.（）

图3

不难发现，本题携手P22的练习1，练习1是对平行线判定3和性质3的考查，而本题是对平行线判定2和性质2的考查，是对平行线性质与判定的补缺式巩固.其内在的功能等同于练习1.

P24的第13题 完成下面的证明.

（1） 如图4，AB∥CD，CB∥DE.求证：∠B+∠D=180°.

证明：因为AB∥CD，

所以∠B=_______.（）

所以∠C+∠D=180°，（ ）

所以∠B+∠D=180°.

图4

（2） 如图5，∠ABC=∠A′B′C′，BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线，求证：∠1=∠2.

图5

证明：因为BD，B′D′分别是∠ABC，∠A′B′C′的平分线.

又∠ABC=∠A′B′C′，

所以∠1=∠2.（）

这一大题拉长了推理的过程，除了落实“培养事出有因、言必有据的思维习惯”外，还通过填写残缺的推理内容，有向学生渗透“培养有条理地思考、表达的能力”的意图.帮助学生扶着拐杖尝试演绎推理，为了更好地向独立推理证明迈进.

4.复习题照应

为了巩固前面推理证明渗透的成果，特在本章的复习题中增设一题，P37的第13题，它仍然是通过留白的方式，督促学生写出证明的过程，并填好每一步的根据.让学生在这种初具框架的证明环境中得到历练，照应对推理证明的加强，把推理引向深入，为后面三角形一章推理证明的学习做好了铺垫.

P37的第13题完成下面的证明.（1）如图6，点D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF∥CA，求证：∠FDE=∠A.

证明：因为DE∥BA，

所以∠FDE=_______.（）

因为DF∥CA，

所以∠A=_________，（ ）

所以∠FDE=∠A.

图6

图7

（2） 如图7，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，∠D=∠BOD.求证：AC∥BD.

证明：因为∠C=∠COA，∠D=∠BOD，

又∠COA=∠BOD，（ ）

所以∠C=________.

所以AC∥BD.（）

其中的（1）题以平行线的性质为载体，在顺接P24习题5.3第13题的基础上实施了提升，把原来的补写1个推理空缺增加到2个，并且图形复杂了，需要仔细地甄别，才能做出选择，增加了推理渗透的力度；（2）题虽然仅是需要一个推理空缺的填写，但进行推理的条件众多，增大了推理的跨度，将初步的推理证明推向阶段性高度.

四、对后续学习推波助澜

通过以上层级推进式的学步训练，三种语言的不断切换，尤其对符号语言的驾驭，使得推理简洁明了、有条不紊，为形式化推理证明铺开了路，在搭架子注理由、承上启下填短句等“补白”的慢过程中，立足“照葫芦画瓢”式的模仿，逐步熟悉推理过程、明晰推理规则，经由如此脉络，推理意识不断渗入，证明观念得以涵育，思维视野渐次拓宽，纵然是初步的逻辑推理的体验和模仿过程，但这是真切的认识、感悟，为八年级及以后的严格、规范的推理来了个缓冲，做好了铺垫，打好了基桩，在后继学习中，学生面对推理与证明，自然有了心理接纳的物质基础和精神准备，有效消除了畏难情绪.

五、结束语

纵观以上题目的变化以及对这类题目的丰盈，无不昭示出对推理证明的加强，并且我们可以看到这种加强是逐步推进的，符合学生的认知特点及心理规律.从教材习题看，尚未要求学生独立证明一个真命题，当然这是当下教材要求的底线，而对学有余力的学生可以鼓励他们尝试规范书写、自己证明，以提早摸索推理之道，锻炼自己的逻辑思维，践行好因材施教的基本原则.笔者通过研读、思考，斗胆从题目的变化中挖掘内蕴、摄取信息，作了以上的分析，不当之处，请各位同仁斧正！

1.李海东.直观实验、逻辑推理、几何证明的教育价值［J］.数学教学，2005（6）.

2.项武义.基础几何学［M］.北京：人民教育出版社，2004.