高职数学中微分的教学探究

缪烨红

（健雄职业技术学院，江苏 太仓 215400）

高职数学中微分的教学探究

缪烨红

（健雄职业技术学院，江苏 太仓 215400）

微分的思想在高等数学中具有重要地位，而目前高职数学教学中对微分的教学不够重视，导致学生对微分的概念和应用不甚了解，对后续知识的学习产生较大阻碍.本文从教学设计的角度，探究了微分的教学课堂实施方案，将微分的两定义相结合，旨在解决微分概念教学的抽象性，增强微分应用性的教学.

微分；微分教学；线性近似

1 微分的核心地位

微分在高等数学中处于核心地位，其思想贯穿于整个高等数学.现在教材采用的大都是先将导数，再讲微分.导数与微分是从不同的侧面处理函数的变化问题，导数是从变化率的角度处理函数的变化，而微分是从增量的线性主部的角度处理函数的变化.导数往往通过切线或变化速度来分析问题，而微分是通过微小量的近似处理，得到线性主部.高职数学强调“以应用为目的，以必需和够用为度”的原则，因此教学过程中应强化微分教学，使学生掌握微积分的精髓-微元法，提高学生应用微积分的能力.同时微分方法在工程上应用广泛，因此微分教学对后续课程的学习非常重要.

2 微分教学目前的现状

以健雄职业技术学院为例，我院目前开设应用数学课程课时64课时，微分的内容涉及较少，只有两个学时，由于微分的运算可以由导数的运算直接得来，所以学生对微分的理解非常模糊，认为是可有可无的概念，影响了后面对积分的理解.学生认为只要掌握好导数的概念和算法，就可以进行微分的运算，从而忽视对微分概念的理解.很多学生不知道为什么要引入微分的概念，有何应用更不清楚.另一方面，教师对于微分这部分内容的考核，目前也是仅局限于微分的计算，对微分概念和应用的考核很少.

目前处理微分的教学一般采用以下两种方案：一、通过正方形面积的改变量这个经典案例，导入概念（用增量的线性主部定义微分），推出可导和可微的等价关系，给出微分的运算法则、基本公式等，让学生能熟练计算微分，最后回归实际，讲解微分的应用—近似计算；二、在教学过程中直接用导数定义微分，得出微分计算公式，最后讲解微分的近似计算，该方案简化了微分教学的诸多环节.在两个方案的教学过程中，笔者发现前者微分的概念描述比较抽象，学生很难抓住微分的本质，对概念是一知半解，教学内容较多较抽象，诸多理论证明对于高职学生来讲很难掌握.而在后者方案中，学生只学会了计算，对微分的理解和应用仅仅停留在表面.在实际考核过程中，学生也只会微分的计算，机械地记住了微分的形式，记住了可导、可微、连续三者的关系，但是对微分的本质和应用不甚了解，不知道介绍微分究竟有何意义.

高职数学教学讲究是必需、够用，那么如何应用微分是我们在教学过程中应该处理的重点和关键，在教学过程中如何强化微分思想和应用，是我们需要思考和探讨的问题.

3 微分教学新的设计思路

根据高职学生的现状，以及为后续知识（级数、多元函数微积分等内容）的学习作铺垫，我们设计了以下教学方案.

3.1 首先给出微分的简单定义，让学生先了解微分的形式

定义1 设y=f(x)是一个可导函数，则称f'(x)dx为函数y=f(x)的微分，记作dy，即dy=f'(x)dx.

注：微分dx是一独立变量，即可以是任意一个数.若给定dx一个特殊值，x是f的定义域中的特殊点，那么dy即可确定，也就是说变量dy是因变量，它既依赖于x，又依赖于dx.

3.2 根据导数的计算公式让学生推导得出相应的微分公式如

其中u和v都是关于x的函数.

注：这部分内容可以将侧重点放在微分的逆运算上，为后面积分的计算打下基础.

3.3 用微分讨论函数的改变量，让学生参与讨论、思考

问题引入：假设可导函数y=f(x)，a是定义区间内一点，现将点a移动到点处a+dx，函数值的改变会有多大？

特殊情况：对于函数y=f(x)=x，将a移动到a+dx，函数值的改变量为Vy=Vx=dx，这说明自变量的微分就是自变量的改变量.

图1

如图1，曲线y=f(x)上点a，由导数的几何意义知，y=f(x)在x=0处的切线为L，则直线L的方程是L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).易见直线L在点a的附近与f的图形很接近，L(x)给出了f(x)很好的近似，也就是L(x)是f(x)在a处的线性化，是f(x)在a处的线性近似.

注：如果函数f(x)在x=a处可导，那么近似函数

就是f(x)在x=a处的线性化.

从而得出微分的几何意义：当dx(Vx)很小时，df就是f线性化的变化，即Vf≈df.因此从几何角度来讲，在点a的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段，这是高等数学中非常重要的以直代曲的思想.

3.4 现考查微分近似中的误差

对于函数f(x)，当x从a变化到a+dx时会有两个量描述变化：

精确的改变量：Vf=f(a+dx)-f(a)，近似变化：df=f'(a)dx，那么df近似Vf究竟有多好？也就是两者的误差有多少？

3.5 最后结合教材中给出微分的定义，两定义实现统一

定义2 设函数y=f(x)在某区间内有定义，a及a+Δx在这区间内，如果函数的改变量Δy=f(a+Δx)-f(a)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依赖于Vx的常数，而o(Δx)是比Vx高阶的无穷小，那么称函数y=f(x)在点a可微，而AVx称为函数y=f(x)在点a相应于自变量改变量Vx的微分，记作dy，即dy=AVx

注：当A≠0，且|Vx|很小时，dy称为Vy的线性主部，即Δy≈dy

而由前面分析得Vf=df+εVx，εVx是一个高阶无穷小量，定义2中的A就是f'(a)，这样微分的两个定义就实现了统一.

3.6 新的设计方案的特点

在整个教学过程中鼓励学生直观形象、解析和数值地思考和讨论问题，按照循序渐进的原则，从形象到抽象，将微分的两种定义相结合，解决了之前的矛盾，让学生更深刻地理解微分的概念和以直代曲的数学思想，并能充分了解微分的应用，将应用蕴含整个教学过程中，同时数值计算的思想为后面级数的学习奠定一定的基础，线性近似的思想为二元函数微积分中全微分的学习、概念的理解及其应用作了很好的铺垫.

在高职数学教学中，目前还是侧重于介绍一些解题技巧和解题训练，比如极限计算、导数计算、积分计算，教学中比较重视形式化与程序化的知识，对概念的图像和数值的表征方式重视不够，学生的计算能力在中学中已经有了比较多的训练，因此在高职教学中应侧重核心概念的教学和加强应用方面能力的培养，更深刻地理解某些重要的概念，从而让学生能利用微积分的思想去解决一些实际问题.

〔1〕陆宗斌.高职应用数学（第二版）[M].大连理工大学出版社，2010.

〔2〕芬尼，韦尔，焦尔当诺.托马斯微积分[M].叶其孝等译.高等教育出版社，2003.

〔3〕黄非难，王巧云.高职高等数学中的微分教学探讨[J].中国西部科技，2009，8（35）.

〔4〕高雪芬，鲍建生.大学生对微分概念的理解及认知方式分析[J].数学教育学报，2013，22（1）.

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