第一类销售扩散模型的统计分析

程慧君，徐晓岭，顾蓓青，於笑羊，梁 舒

（上海对外贸易学院 a.商务信息学院；b.国际经贸学院,上海201620）

0 引言

目前已经有很多关于产品的生命周期的研究。文献[1]是郑祖康教授对销售扩散曲线的研究。文中，将消费者购买行为称作“冲动”，从消费者行为，新产品性能以及营销者策略这三个因素进行描述，建立了与当前的销售扩散曲线、平均销售扩散速度和销售时间有关的三个基本模型。文献[2]中，首先阐述了产品生命周期的内涵；其次对产品生命周期建立了计量经济模型，运用了龚伯兹曲线（美国统计学家和数学家龚伯兹首先提出作控制人口增长率的一种模型）进行拟合，然后对某市场耐用消费品作案例分析对出结论，最终也对产品投入期，产品成长期和产品成熟期给了一些对策。文献[3]对新产品营销失败的原因从市场，产品以及营销三个方面做出分析，阐述了新产品内在的扩散机理是成功的基础，具体表现在新产品的相对优势，适应性，复杂性等性质。

本文针对郑祖康教授提出的第一类销售扩散模型，给出了参数的矩估计，考察了估计的存在性，并通过Monte-Carlo模拟数例说明本文方法的应用。

1 模型及其数字特征

文献[1]提出了一种销售扩散概率模型，即针对非负随机变量T给出了一种两参数的概率分布，其分布函数、密度函数和失效率函数分别为：

易见：

若-1＜β≤1时，

图1 参数λ=0.5,β=-0.5,0.5的密度函数图像

若β＞1时，

令f′(t)=0 ，得方程：β-eλt=0 ，解得其根 ：由此 f (t)在(0,t)严格单调增加，在(t,+∞)严00格单调下降，在点t0处取最大值，值为取参数λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，密度函数图像见图2，参数β=30，λ=0.5,1,1.5,2.5,3.5，密度函数图像见图3。又

即失效率函数η(t)当-1＜β＜0时，严格单调下降；取参数λ=2.5,3.5，β=-0.5，失效率函数图像见图4。当β＞0时，严格单调增加；而当β=0时，为常数，此时该分布为指数分布。取参数λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，失效率函数图像见图5。

图2 参数 λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100的密度函数图像

图3 参数 β=30，λ=0.5,1,1.5,2.5,3.5的密度函数图像

图4 参数 λ=2.5,3.5，β=-0.5的失效率函数图像

图5 参数λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，失效率函数图像

下面求该分布的p—分位数：

若 0 ＜p＜1，F(tp)=p，即，从中解得

下面求该分布的k阶矩：

引理1[4]：设 g(x)是[a,+∞) 上的非负函数，且对任何b＞a，g(x)在[a , b]上可积，如果，则当-∞≤p＜-1时，收敛；而当-1＜p≤+∞时，发散。

引理2：具有分布函数F(t)的非负随机变量的k阶矩存在，同时

证明：

由引理1知：随机变量T的k阶矩存在。于是

可得该分布的期望与二阶矩：

2 参数的矩估计

设T1,T2,…,Tn为来自总体T的容量为n的一个样本，由矩估计思想可建立如下方程组：

化简：

即得方程：

则有：

注意到，G(β)的图像如图6所示，从中可以看到，其为单调减函数，由此可以认为引理3中的方程有唯一根。

图6 函数G(β)的图像

例1：给定n=10，参数真值取为λ=1,β=0.5，通过Monte-Carlo模拟产生服从该两参数分布的10个随机数如下：

利用本文方法求得参数的矩估计为：

例2：给定 n=10，参数真值取为 λ=1,β=-0.5，通过Monte-Carlo模拟产生服从该两参数分布的10个随机数如下：

利用本文方法求得参数的矩估计为：

特别地，当参数β已知时，易得参数λ的矩估计：

例3：给定n=10，β=0.5，参数真值取为λ=1，通过Monte-Carlo模拟产生服从该两参数分布的10个随机数如下：

例4：给定n=10，β=-0.5，参数真值取为 λ=1，通过Monte-Carlo模拟产生服从该两参数分布的10个随机数如下：0.8593，1.0250，0.2548，0.9001

令函数：φ(β)=β-ln(β+1),β＞-1

则当 -1＜β＜0时，φ(β)为单调减函数，而当 β＞0时，φ(β)为单调增函数，当 β=0 时，φ(β)取最小值，其值为 φ(0)=0，由此得 φ(β)＞0，即 g(β)为单调增函数。

例5：给定n=10，λ=1，参数真值取为β=0.5，通过Monte-Carlo模拟产生服从该两参数分布的10个随机数如下：

1.7641 ，2.0972，1.1042，1.9068，0.5514，0.3588，0.5197，1.1347，2.1186，0.4787

例6：给定n=10，λ=1，参数真值取为 β=-0.5，通过Monte-Carlo模拟产生服从该两参数分布的10个随机数如下：

0.5586 ，1.1008，0.0570，1.1940，1.2937，0.2426，0.3201，0.5122，0.7753，0.8926

[1]郑祖康.销售扩散曲线及其数学分析[J].数学理论与应用，2010，（3）.

[2]谢慧.产品生命周期曲线预测模型及其在营销决策中的应用[J].市场研究，2006，（2～8）.

[3]薛云建，陈捷.用扩散机理解析新产品营销[J].企业研究，2010，（17）.

[4]汪林，戴正德，杨富春，郑喜印.数学分析问题研究与评注[M].北京：科学出版社，1995.