二次函数在求解几何最值问题中的应用

甘晓波

二次函数的应用是初中数学的重点和难点，通常把它与最值问题联系在一起进行考查.下面以中考题为例说明二次函数在几何最值问题中的应用.

一、求线段长的最值

例1 （2012年江苏扬州）如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 .

图1

解析：设AC=x，则BC=2-x.

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∴∠DCE=90°.

∴DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■·（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

∴当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.

例2 （2012年宁夏）如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.

（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长.

图2

分析：（1）由△APE≌△ADE，可得AP=AD=3.在Rt△ABP中，运用勾股定理即可求得BP的长.

（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE. 根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式，然后化为顶点式即可求得当x=■时，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD.根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP的长.

解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3.

在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=■=■=■.

（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE.

∴■=■，即■=■.

∴y=-■x2+■x.

∵y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

∴当x=■时，y的值最大，最大值是■.

（3）设BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD.

∴■=■， 即■=■.

将上式化简，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合题意，舍去）.

∴当PE∥BD时， BP=■.

二、求线段积的最值

例3 （2012年江苏苏州）如图3，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2

（1）当x=■时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？

图3

分析：（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l.又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行. 根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出△PCA与△APB相似.由相似得比例式，将PC及直径AB的长代入比例式求出PA的长.在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长.

（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点.再由有三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OACE为矩形.根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.

解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB.

∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.

∴■=■，即PA2=PC·AB.

∵PC=x=■，AB=4，∴PA=■=■.

∴在Rt△APB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E.

∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

∴PE=ED=x-2.

∴CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

∴PD·CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

∵2

∴当x=3时，PD·CD有最大值，最大值是2.

三、求周长的最值

例4 （2012年四川南充）如图4，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点.把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.

（1）求证：MA=MB；

（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

图4

分析：（1）连接OM，证明△PMA和△OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，则在Rt△AOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）证明：连接OM .

∵ 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，

∴PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∴∠PMA=∠OMB.

∴△PMA≌△OMB（ASA）.∴ MA=MB.

（2）△AOB的周长存在最小值.理由如下：

∵△PMA≌△OMB ，∴ PA=OB.

∴OA+OB=OA+PA=OP=4.

设OA=x， AB=y，则y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

∴当x=2时，y2有最小值8，从而 y的最小值为2■.

∴△AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面积的最值

例5 （2012年四川自贡）如图5，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.

图5

解析：设BM=xcm，则MC=（1-x）cm.

∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

∴△ABM∽△MCN，∴■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

∴S四边形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

∵-■<0，

∴当x=■cm时，S四边形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如图6，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值.

图6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程，求出t值即可.

（2）作NH⊥AC于H，证明△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算△AMN的面积得到有关t的二次函数，最后求出最值即可.

解：（1）∵M点从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，

∴AM=12-t，AN=2t.

∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

∴当t为4秒时，∠AMN=∠ANM.

（2）如图6，作NH⊥AC于H，∴∠NHA=∠C=90°.∴NH∥BC.

∴△ANH∽△ABC.

∴■=■，即■=■.∴NH=■t.

∴S△AMN=■·（12-t）·■t=-■t2+■t=-■（t-6）2+■.

∴当t=6秒时，△AMN的面积最大，最大值为■平方米.