基于二阶锥规划的宽带波束形成器设计

刘子龙，丁淑娟，孙广俊，李铁成

中国电波传播研究所，山东 青岛 266107

基于二阶锥规划的宽带波束形成器设计

刘子龙，丁淑娟，孙广俊，李铁成

中国电波传播研究所，山东 青岛 266107

1 引言

宽带波束形成技术是雷达、声纳、通信、医疗、宇航等领域中被广泛研究的热门技术之一，恒定束宽响应（constantbeamwidth response）是对宽带信号进行波束形成的一个基本要求。早在20世纪90年代人们就提出了很多对宽带信号进行波束合成的方法[1-3]，其中，Nordebo等人提出了设计切比雪夫权系数的方法，该方法只适用于均匀线阵；文献[2]根据工作带宽先把天线划分成许多子阵，再针对不同子阵的每个天线单元单独设计FIR滤波器，该设计思想在工程中被广泛引用，但其FIR滤波器设计过程繁琐；文献[3]提出一种根据天线孔径和频率对应关系来设计阵列和选取权系数的方法，但鉴于天线阵的不连续性及孔径的有限性，这种方法获得的结果只是个近似值；Simon等人[4]在总结对比各种优化准则的基础上，提出利用特征滤波器（eigenfilter）来求取权系数；文献[5]把波束响应向参考波束响应上投影，以此来获得最小二乘解；文献[6]提出利用逆FFT的方法快速求解阵元的复加权系数；当然，还有在频域上利用聚焦矩阵进行波束形成的方法。这些方法要么只适合特定的阵列结构，要么设计过程繁琐，特别是在约束条件较多的情况下，设计灵活性变差，不具通用性，且所求结果的精确度难以控制。

在对宽带波束形成器设计进行深入研究的基础上，本文首先以两种典型结构的宽带波束形成器作为出发点，推导出波束形成器波束响应的统一表达式，然后，根据波束设计中参考波束的选择情况，为固定参考波束（固定参考模板）和参数化参考波束（参数化参考模板）两种波束优化问题分别进行了数学建模，并借鉴文献[7-10]，把二阶锥规划方法引入到宽带波束形成器的设计求解中来。仿真结果表明，二阶锥规划方法可以在波束形成器的主瓣宽度、旁瓣级、主瓣响应误差、稳健性等多个指标之间进行全面的折中处理，而且可以利用现有的工具箱软件进行快速求解，设计结果精确直观。

2 宽带波束形成器的结构模型

图1是典型的时域宽带波束形成器，它在每个天线阵元的后面连接一个数字延时线Ti(i=1，2，…，M)和一个FIR滤波器，数字延时线的作用是调节波束指向，补偿观测方向来波信号到达各天线阵元的波程差；FIR滤波器的作用是实现宽带聚焦，使波束在指定的方向上实现宽带恒定束宽响应。采用数字延时线与FIR滤波器相结合的结构方式，可以使FIR滤波器以较少的阶数实现更优的性能[8]。图1是使用比较广泛的宽带波束形成器结构，这里把该结构简称为TDLs（Tapped Delay-Lines）[11-12]。

图1 传统的时域波束形成器结构示意图

图2是基于长方形阵列结构的宽带波束形成器[11-12]，它对每个天线阵元的输出直接乘上一个加权系数，再把所有阵元输出求和，从而实现对宽带信号的恒定束宽波束形成。图2与图1最显著的区别就是没有了时域上的FIR滤波器，这使得波束形成的计算过程更加简练，更适合处理频率较高的宽带信号，但它是以增加空间上的天线阵元为代价的，可以理解为是以空域信息来换取时域信息。这里把该波束形成器结构简称为SDLs（Sensor Delay Lines）。

图2 基于长方阵的宽带波束形成器结构示意图

对于图1，以均匀线阵为例，设天线阵列沿直角坐标的x轴排列，天线编号沿x轴的正方向依次减小，设来波信号x(t)的方向偏离x轴法向角度为θ(θ∈[-π/2，π/2])，选取天线阵列中第1个阵元接收的信号为参考，则第m阵元第n个延时节点(xm(n))接收到的信号可表示为：

其中，τm(θ)=(m-1)dsin(θ)/c（d为阵元间距，c为信号在媒质中的传播速度），Ts是单位时延。对式（1）进行傅里叶变换，并与参考信号作比较，得出TDLs结构中第m个阵元第n个延时节点对信号的频率响应为：

其中 f是信号频率。设第m阵元第n个延时节点的复数权系数为hmn，并令：

其中T代表转置，h为阵列加权向量，e(f，θ)为频率响应向量。对M个阵元的所有N个延时节点的信号加权求和，可得波束形成器的波束响应为：

对于图2所示的SDLs结构，取x(0，0)阵元接收的信号作为参考，则阵元x(m，n)对接收信号的频率响应为：

此时，只要把向量（4）中的各元素用式（6）的结果替换，并把得到的向量e(f， θ)代入式（5），即可得到SDLs结构下的波束响应。

事实上，对于任意结构的阵列模型，它们的波束响应都可以统一表达为式（5）的形式，并且，为了使波束响应逼近某一期望响应，它们的权系数都可以用二阶锥规划方法进行求解[9-10，13-14]。

3 二阶锥规划简介

二阶锥规划是数值优化问题的一个分支，属于凸优化问题范畴，二阶锥规划最大的特点就是只要能把一个优化问题转化为二阶锥问题，便可以用快速有效的数学方法（如内点算法）进行求解，并且获得的解是全局最优的。二阶锥规划集线性规划与最小二乘拟合等功能于一身，能有效地解决线性不等式约束、二阶锥约束条件下的线性目标函数的最优值问题，它的数学模型可表示为：

其中，y∈Rm×1是优化变量，f∈Rm×1，Ai∈R(ni-1)×m，bi∈R(ni-1)×1，ci∈Rm×1，cTiy∈R，di∈R，R为实数，Rm×1表示m×1维实数矩阵，N是二阶锥不等式约束个数，||·||表示欧几里德（Euclidean）范数，不等式（7）称为维数为ni的二阶锥约束，即

是等价的，其中κni是ni维二阶锥（或洛仑兹锥），它的定义为：

特别地，当ni=1时，κni成为1维二阶锥，此时式（7）变为：min fTy

这就是大家熟悉的线性规划问题。二阶锥规划问题可以用数值优化工具如Sedumi进行快速有效地求解，求解方法参见文献[13-14]。

4 恒定束宽响应波束形成器的设计

宽带波束形成器的设计在很多情况下就是恒定束宽响应波束形成器的设计，该设计要求波束响应主瓣增益保持恒定，而旁瓣低于某一旁瓣级[8-9，12，15]。设计中参考主瓣响应（模板）既可以是某一固定的常规波束响应（固定参考模板），也可以是参数化的波束响应（参数化参考模板），并且在两种情况下，待求解的约束方程不同。下面，以最小均方准则分别对两种情况下波束形成器的求解进行数学建模。

设δobj为优化目标函数；f0为参考波束所选用的频率，P(f0，θmi)为固定参考模板；

fpk∈Fpass-band(k=1，2，…，M1)，为通带内频率离散值。

θmi∈Θmain-lobe(i=1，2，…，N1)，为通带内波束响应的主瓣离散值。

θsj∈Θside-lobe(j=1，2，…，N2)，为通带内波束响应的旁瓣离散值。

fsl∈Fstop-band(l=1，2，…，M3)，为阻带内频率离散值。

则对于固定参考模板，波束形成器权系数的求解问题可表述为：

对于参数化参考模板，权系数的求解问题表述为：

其中，式（11）、（16）的作用是把通带内主瓣上的波束响应向参考模板进行聚焦，式（12）、（17）是对通带内波束响应的旁瓣进行约束(M1=M2)；式（13）、（18）是对阻带内波束响应的约束(N3=N1+N2)；式（14）、（19）是对权系数的范数进行约束，目的是对白噪声增益进行控制[15]。

式（11）～（19）为恒定束宽响应波束形成器的设计提供了统一的框架，只要选取某一δi(i=1，2，3，4)作为目标函数δobj，把其他δj(j=1，2，3，4， j≠i)设置满足特定要求的数值，便可以方便地把这些问题转换为二阶锥规划问题进行求解，但有几点需要注意：

两种数学模型适用的场合不同，式（11）～（14）的目的是要逼近某一期望的波束响应，而式（15）～（19）的目的是让优化算法自动选取高精度的波束响应及其权系数，波束图形状不具有任意性，因此不能笼统地说式（15）～（19）的性能优于式（11）～（14）。

目标函数的选取是任意的，这比文献[12-13]提到的方法都更加灵活，并且目标函数选取不同，求解的结果不同，这在稍后的仿真中可以看到。

约束条件中各个不等式之间是相互制约的，因此各个控制值δi(i=1，2，3，4)是相互影响的，在求解过程中要对这些值进行折中考虑，合理设置，以确保求解的结果满足要求。

相对于式（11）～（14），式（15）～（19）增加了等式约束（15），它的作用是确定波束指向，并且式（15）对工作频带内的每一个频点都定义了波束指向，仿真发现这比只对单一频点约束指向的方法[12-13]效果更好。

对于式（16）～（18），可以定义空间响应均方误差（SRV）函数[12]。以式（16）为例，令：

其中，H代表共轭转置，*代表复共轭。

且R是Hermitian矩阵，这样，对R进行Cholesky分解，可以得到：

把式（21）代入式（16），得到：

类似地，式（17）、（18）也可以分别定义SRV函数，并分别变换为：

采用SRV方式处理的好处就是使待求的二阶锥问题维数更低，处理的速度相应地也就更快。

如果采用的额外滤波器（模拟滤波器或数字滤波器）对阻带进行抑制，则式（13）、（18）的约束条件可以适当放松，这样，在其他指标要求相同的情况下，设计的滤波器结果会更精确。

5 设计实例

5.1 基于TDLs结构拟合固定参考模板的波束设计

以8个各向同性阵元组成的均匀线阵为例，设阵元间距为最高工作频率 fu所对应波长的一半，且要求在一个倍频程[fl， fu]=[fu/2， fu]的工作带宽内实现恒定束宽响应特性。信号的采样频率为 fs=4fu，即归一化工作带宽为[0.125，0.25]，FIR滤波器阶数为16。设频率离散化间隔为Δf=0.003 125，频带取值范围为 Fpass-band=[0.125，0.25]，Fstop-band=[Δf:Δf:0.1]∪[0.275:Δf:0.5]，其余为过渡带；角度离散化间隔为Δθ=3°，且Θmain-lobe=[-27°:Δθ:27°],Θside-lobe= [-90°:Δθ:-32°]∪[32°:Δθ:90°]。以 fl所对应的常规波束的主瓣响应作为参考，并以式（14）作为目标函数，旁瓣控制在－20 dB以下，阻带增益控制为0 dB，用式（11）～（14）方法求解波束形成器的权值，并画出归一化工作频带内的方向图如图3所示，图4为图3所对应的三维图。从图中清楚地看到主瓣响应非常一致，其均方根误差为5.445 1×10-5，旁瓣严格控制在－20 dB以下，且滤波器的范数值为0.151 88，具有很好的稳健性。

图3 TDLs结构固定参考模板下求解的波束图

图4 TDLs结构固定参考模板下求解的波束图（三维图）

5.2 基于TDLs结构参数化参考模板下的波束设计

在该实例中，以式（16）作为目标函数，权系数范数约束小于1，滤波器阶数为23，波束设计的其他指标与实例一相同。经过仿真，得到的波束图如图5、图6所示，从图中可以看到，计算结果很好地满足设计要求，此时，主瓣响应的均方根误差为1.197 2×10-5，旁瓣控制在－20 dB以下，且滤波器的范数值为0.042 54。显然，此设计方法的主瓣拟合精度比实例一中的结果更高。

图5 TDLs结构参数化参考模板下求解的波束图

图6 TDLs结构参数化参考模板下求解的波束图（三维图）

5.3 基于SDLs结构参数化参考模板下的波束设计

这里假设阵列为15×15理想阵元构成的均匀方阵，阵元间距为最高工作频率 fu所对应波长的一半，要求在一个倍频程[fl， fu]=[fu/2， fu]的工作带宽内实现恒定束宽响应特性，观测方位为[-90°，90°]。取阵元 x((M+1)/2，0)= x(7，0)作为参考阵元，并按照式（6）构建每个阵元的频域响应。角度离散化间隔为Δθ=2°，并设定主瓣内响应不变的区域为Θmain-lobe=[-14°:Δθ:14°]，响应低于－20 dB的旁瓣区域为Θside-lobe=[-90°:Δθ:-21°]∪[21°:Δθ:90°]，其他角度集为空域滤波器的过渡角度区域。选取式（16）作为目标函数，阻带增益抑制为0 dB，利用式（15）～（19）对权系数进行求解，得到的波束图如图7、图8所示。显然，旁瓣控制在－20 dB以下，经计算，主瓣响应的均方根误差为4.304 9×10-7，滤波器的范数值为0.195 62，这一结果比文献[11]中的结果要精确得多，并且由于选择了不同的目标函数，使求得的结果比文献[12]中提到的方法适用于更宽的工作带宽。

图7 SDLs结构参数化参考模板下求解的波束图

图8 SDLs结构参数化参考模板下求解的波束图（三维图）

6 结束语

以二阶锥规划方法为依据，对基于参数化和非参数化参考模板下宽带恒定束宽响应波束形成器的求解方法进行了数学建模、分析、对比，并以两种典型结构（TDLs和SDLs）的宽带波束形成器为仿真对象，对满足特定要求的多约束波束优化问题进行了求解，仿真结果表明本文提出的波束优化数学模型的正确性以及利用二阶锥规划方法求解该问题的灵活性和有效性。

[1]Nordebo S，Claesson I，Nordholm S.Weighted Chebyshev approximation forthedesign ofbroadband beamformers using quadratic programming[J].IEEE Signal Processing Lett，1994，l（7）：103-105.

[2]Chou T.Frequency-independent beamformer with low response error[C]//Proc IEEE International Conference on Acoustics，Speech，and Signal Processing.Detroit，USA：[s.n.]，1995，5：2995-2998.

[3]Ward D B.Theory and design of broadband sensor arrays with frequency invariantfar-field beam patterns[J].Journal of the Acoustic Society of America，1995，97（2）：1023-1034.

[4]Doclo S，Moonen M.Design offar-field and near-field broadband beamformers using eigenfilters[J].Signal Processing，2004，83（12）：2641-2673.

[5]Williams M L Y.Generalized broadband beamforming using a modalsubspace decomposition[J].EURASIP Journalon Advances in Signal Processing，2007，1（1）.

[6]Liu Wei，Weiss S.A new class of broadband arrays with frequency invariant beampattern[C]//Proc IEEE International Conference on Acoustics，Speech，and Signal Processing.Montreal，Canada：[s.n.]，2004，2：185-188.

[7]Lebret H.Antenna array pattern synthesis via convex optimization[J].IEEE Trans on SignalProcess，1997，45（3）：526-532.

[8]Yan S F，Ma Y L，Sun C.Optimal beamforming for arbitrary arraysusing second-orderconeprogramming[J].Chinese Journal of Acoustics，2005，24（1）：1-9.

[9]鄢社锋，马远良.传感器阵列波束优化设计及应用[M].北京：科学出版社，2009.

[10]张大海，杨坤德，马远良.基于协方差矩阵加权的阵列波束优化方法[J].系统仿真学报，2008，20（13）：3342-3347.

[11]Ghavami M.Wideband smart antenna theory using rectangular array structures[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2002，50（9）：2143-2151.

[12]Zhao Yong.Efficient design of frequency invariant beamformers with sensor delay-lines[J].IEEE，2008.

[13]Sturm J F.Using Sedumi 1.02，a MATLAB toolbox for optimization oversymmetric cones[J].Optim MethodsSoftware，1999：625-653.

[14]Pόlik I.Addendum to the Sedumi user guide version 1.1[R]. Hamilton：McMaster University，2005.

[15]Duan H，Ng B P，See C M，et al.Applications of the SRV constraint in broadband pattern synthesis[J].Signal Process，2008，87：1035-1045.

LIU Zilong,DING Shujuan,SUN Guangjun,LI Tiecheng

China Research Institute of Radiowave Propagation,Qingdao,Shandong 266107,China

Two typical structures for broadband beamformering using FIR filters and rectangular arrays are discussed respectively, their beampattern is deduced and represented by the uniform function.Based on the selection of reference beampattern,mathematical models are established for these pattern synthesis problems and then solved effectively by SOCP（Second-Order Cone Programming）methods.Simulation results suggest that the proposed mathematical models are general in finding weights of constantbeamwidth broadband beamformers,and the SOCP methods make the pattern synthesis problem with flexible constraints solved in a more accurate,convenient and easy way.

Second-Order Cone Programming（SOCP）;constant-beamwidth response;constant template;variable template

宽带波束形成器有两种典型的实现方式，分别基于FIR滤波器和基于长方形阵列，将这两种波束形成器的波束响应表达为统一的形式，并根据参考波束的选择情况，为该类波束优化问题的求解建立了数学模型，该数学模型属于二阶锥约束问题，可以用二阶锥规划方法进行求解。仿真结果表明，提出的求解宽带恒定束宽响应波束形成器权系数的数学模型具有通用性，并且把二阶锥规划方法运用到宽带波束形成器优化设计中，其约束控制灵活，问题求解方便，设计结果精确。

二阶锥规划；恒定束宽响应；固定参考模板；参数化参考模板

A

TN821.8

10.3778/j.issn.1002-8331.1107-0521

LIU Zilong,DING Shujuan,SUN Guangjun,et al.Design of broadband beamformer based on second-order cone programming.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：195-199.

国家自然科学基金重点项目（No.61032011）。

刘子龙（1979—），男，工程师，研究方向为阵列信号处理；丁淑娟（1980—），女，工程师，研究方向为雷达信号波形设计、阵列信号处理；孙广俊（1968—），男，高级工程师，研究方向为雷达系统设计、信号处理；李铁成（1963—），男，高级工程师，研究方向为雷达系统设计。E-mail：bixi1980@126.com

2011-07-26

2011-11-07

1002-8331（2013）05-0195-05