基于自适应Terminal滑模的混沌振荡控制

王鹤，李耀峰，张守龙，董晨

（1.东北电力大学电气工程学院，吉林 132012；2.吉林供电公司，吉林 132012；3.国电南京自动化股份有限公司，南京 211100）

基于自适应Terminal滑模的混沌振荡控制

王鹤1，李耀峰2，张守龙3，董晨3

（1.东北电力大学电气工程学院，吉林 132012；2.吉林供电公司，吉林 132012；3.国电南京自动化股份有限公司，南京 211100）

针对电力系统负荷扰动满足一定条件时就会产生混沌振荡现象，提出了一种自适应Terminal滑模混沌控制方法。利用Lyapunov指数证明了系统存在混沌振荡，应用简单电力系统分析了周期性负荷扰动下的动力学行为，设计了Terminal滑模动态使得系统能够快速收敛，给出了扰动的自适应律。应用Matlab/Simulink仿真平台对含噪声和不含噪声的电力系统进行仿真验证。仿真结果表明，该控制方法能够有效地镇定电力系统混沌振荡。

自适应；Terminal滑模；电力系统；混沌震荡

电力系统是一个强非线性系统[1～3]，其在运行的过程中会产生许多复杂的非线性现象，如次同步振荡、低频振荡、分岔、混沌等。当负荷扰动的幅值和频率满足一定条件时就会产生混沌振荡现象。混沌是确定性非线性系统中的一种类似随机的运动形式，对初值极其敏感，具有长期不可预测性。系统安全稳定运行意义深远。

由于混沌振荡可能导致系统失稳，严重危害系统的安全运行，近几年来许多学者对混沌控制进行了有效的探索。文献[4]利用延时反馈控制方法消除了电力系统混沌振荡；文献[5，6]分别利用逆系统方法和神经网络实现了电力系统的混沌振荡的镇定；文献[7，8]利用模糊滑模变结构控制方法设计了混沌控制器；文献[9]采用变量反馈法抑制了电力系统混沌振荡，但其只能将系统的状态控制到稳定的目标轨道上，不能将其控制到初始平衡点上。文献[10]利用自适应方法观测系统的扰动幅值，提高了控制器的鲁棒性，达到了消除混沌的目的。文献[11]将最小二乘支持向量机LS-SVM（least squares support vector machine）运用于动力学特性的学习，进而获得训练好的电力系统LSSVM模型，以达到混沌振荡控制的目的。虽然以上方法均能有效地控制系统的混沌振荡，但系统输出跟踪期望的信号的时间过长，而且实际中电力系统不可避免地要受到随机噪声的干扰。文献[12]指出有界噪声作用可以增大系统的混沌区域，使得电力系统更易于产生混沌运动，而上述研究均未考虑噪声扰动对系统的影响。

本文在文献[13，14]的基础上，将自适应控制和Terminal滑模控制相结合，提出一种自适应Terminal滑模混沌控制方法。利用Lyapunov指数证明了系统存在混沌振荡，设计了Terminal滑动模态使得系统能够快速收敛。仿真表明，该控制器能够有效地镇定电力系统混沌振荡。

1 电力系统混沌特性的判据

混沌状态的判据通常采用庞加莱截面法、功率谱法以及李雅普诺夫指数法（Lyapunov指数）3种方法，其中应用的最多的是Lyapunov指数法。Lyapunov指数是表征混沌运动的一个重大的统计特性参数，是相空间相近轨道的平均收敛性或平均发散性的一种度量。对于n维相空间中连续的动力系统，考察一个无穷小的n维球面的长时间演化，由于流的局部变形特征，球面将变成n维的椭球面，第i个Lyapunov指数按照椭球主轴长度pi（t）定义为

Lyapunov指数的大小表明相空间中相近轨道的平均收敛或发散的指数率。一般说来具有正的和零的Lyapunov指数的方向都对支撑吸引子起作用。最大的Lapunov指数为正时，系统具有混沌现象，越大其系统的混沌越强。

Lyapunov指数的计算方法有很多种，有Kaplan Yorke猜想、差分方程组、微分方程组和实验数据等。根据不同的系统选取不同的方法，本文采用文献[15]所提的计算最大Lyapunov指数法。

2 周期性负荷扰动下的动力学行为

2.1 数学模型

忽略励磁回路和阻尼绕组的动态过程，假设发电机机械功率在暂态过程中始终保持不变，不计发电机的瞬态凸极效应，本文采用同步电机的二阶非线性数学简化模型为

式中：δ、ω分别为发电机转子角和相对转速；Ps和Pm分别为发电机的电磁功率与输入机械功率；H和D分别为等值惯性时间常数与阻尼系数；Pe和β1分别为扰动负荷的幅值与频率。

设α1=Ps/H，γ=D/H，ρ=Pm/H，F=Pe/H，则式（2）转化为

令[x1，x2]=[δ，ω]，则受控的闭环系统方程式可表示为

式中，u为控制输入。

2.2 混沌振荡的产生

设H=100，Ps=100，D=2，Pm=20，β1=1，即当α1、γ、ρ分别为1、0.02、0.2时，研究扰动负荷Pe幅值变化时电力系统的动态行为[9]。

当β1=1，Pe=0时，系统只有阻尼而没有周期性负荷扰动，功角δ先振荡一段时间，然后恢复到稳态；当周期性负荷扰动的幅值Pe增大到29.6时会出现混沌振荡，系统的相轨迹出现混沌吸引子。发电机的功角曲线和相图如图1所示。

图1 Pe=29.6时发电机功角曲线和相图Fig.1δ（t）curve and phase diagram of the generator with Pe=29.6

当Pe再有微小增加时（如Pe=29.613），系统的功角曲线和相图如图2所示。

图2 Pe=29.613时系统的功角曲线和相图Fig.2δ（t）curve and phase diagram of the system with Pe=29.613

由图2可知，系统由混沌振荡演变为发散振荡，已完全失去稳定。故而混沌振荡对系统的安全运行具有很大危害。

当Pe=29.613时，系统的Lyapunov指数变化曲线如图3所示。

图3 Pe=29.613时系统的Lyapunov指数曲线Fig.3Lyapunov curve of the system and phase diagram with Pe=29.613

由图3可知，系统有3个Lyapunov指数，其中一个正的Lyapunov指数，证明了当系统参数Pe= 29.613时会产生混沌现象。

3 Terminal滑模变结构控制器设计

3.1 Terminal滑模变结构控制基本原理

受未知外扰作用的不确定非线性单输入单输出系统表达式[16]为

式中：f（x，…，x(n-1)，t）为系统各状态变量构成的未知非线性函数；w（t）为系统的未知外扰；b（t）为非线性函数；u（t）为控制量；x（t），…，x(n-1)（t）为系统的状态变量，其中x（t）可测或间接可测。

考虑形如式（5）所示的不确定非线性系统，其控制目标是设计一个控制器使系统输出y跟踪期望输出yd。

常规滑模变结构控制一般选取切换函数为

采用指数趋近律得

可以设计出传统滑模控制律为

由式（9）可知，该控制器需要yd的1，2，…，n-1阶导数已知，当有一个未知时该控制器将会失去意义。

为了消除期望输出yd的各阶导数项均需已知对控制器的影响，在滑模面中引入跟踪误差ei的积分项，用各阶状态量代替各误差项，此时滑模面可设计为

式中：k和ci（i=1，2，…，n-1）为任选常数，合理选择参数k和ci可以使系统达到比较理想的控制效果。通常情况下，ci的选择使多项式

具有负实部即可，其中r为拉普拉斯算子。

由于在滑模面中加入了积分项，减小了系统各阶状态量的静态误差，提高了控制精度。

全局快速Terminal滑动模态形式[17]为

式中：α〉0；β〉0；p和q（p〉q）为正奇数。

由式（12）可设计出滑模控制律为

3.2 控制器设计

Terminal滑模控制就是在滑动超平面的设计中引入了非线性函数，构造Terminal滑模面，使得在滑模面上跟踪误差能够在有限时间内收敛到零。设

对式（14）求导得

构造Terminal滑动模态

式中：α〉0；β〉0；p和q（p〉q）为正奇数。

得到非线性控制律为

式中，r为自适应增益系数。

下面证明系统的稳定性：将式（17）代入式（15）得

4 仿真分析

为验证本文所提出的自适应Terminal滑模控制方法的有效性，在Matlab/Simulink环境下对整个系统进行仿真。仿真时选取初始状态x0=[0，0]。共考虑了以下两种情况。

图4 Pe=29.6时在控制器作用下系统的动态响应曲线（不含噪声）Fig.4Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.6（without noise）

4.1 系统不含噪声时

在t=80 s时引入控制项。系统的仿真曲线如图4所示。

由图4可以看出，引入控制之前的系统处于无规则的混沌运动状态，引入控制器后，迅速地镇定了系统的混沌振荡，使系统运动状态回到了初始状态。

在Pe=29.613，系统失去稳定（t=80 s）之前投入控制器，受控系统的动态响应如图5所示。

仿真结果表明，在控制器作用下，系统能快速地由混沌运行状态转向稳定状态，并稳定在平衡点。

4.2 系统含噪声时

考虑在上述系统中加入均值为0，方差为0.1的白噪声。系统的动态响应如图6和图7所示。

由图6和图7可以看出，当在系统中加入白噪声时，控制器仍然能够镇定混沌吸引子，抑制混沌振荡，可知加入控制器的系统具有一定的抗扰动能力，鲁棒性好。

图5 Pe=29.613时在控制器作用下系统的动态响应曲线（不含噪声）Fig.5Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.613（without noise）

图6 Pe=29.6时在控制器作用下系统的动态响应曲线（含噪声）Fig.6Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.6（with noise）

图7 Pe=29.613时在控制器作用下系统的动态响应曲线（含噪声）Fig.7Dynamic response curves of the system under the action of the controller with Pe=29.613（with noise）

5 结语

本文将Terminal滑模控制和自适应控制结合起来，对电力系统混沌振荡进行了控制。首先用Lyapunov指数证明了不含噪声和含有噪声的系统在一定的扰动幅值下会产生混沌，然后采用自适应Terminal滑模控制对混沌吸引子进行了抑制。该控制方法结构简单、物理实现容易、实时性强、调节灵活。仿真表明该控制器能够消除系统的混沌振荡，验证了本文方法的有效性。

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Chaotic Oscillation Control Based on Adaptive Terminal Sliding Mode

WANG He1，LI Yao-feng2，ZHANG Shou-long3，DONG Chen3
（1.School of Electrical Engineering，Northeast China Dianli University，Jilin 132012，China；
2.Jilin Power Supply Company，Jilin 132012，China；3.Guodian Nanjing Automation Co.，Ltd.，Nanjing 211100，China）

According to chaos oscillation phenomena produced by power system load disturbance at certain conditions，a chaotic oscillation control of electric power system based on adaptive terminal sliding mode is proposed.Existence of chaos oscillation in power system is proved by using Lyapunov index.The dynamic behavior of periodic load disturbance is analyzed under a simple power system.A terminal sliding mode is designed for the system to enable the fast convergence.The adaptive law of the disturbance is developed.The model has been described with the reference and implemented by using Matlab/Simulink.Extensive simulation results are presented and analyzed to validate that the proposed simulation model is effective for the suppression of chaos oscillation

adaptive；Terminal sliding mode；power system；chaotic oscillation

TM732

A

1003-8930（2013）03-0152-06

王鹤（1983—），男，博士研究生，讲师，研究方向为电力系统安全分析与控制。Email：wanghe@mail.nedu.edu.cn

2012-10-12；

2012-12-30

李耀峰（1984—），男，本科，助理工程师，研究方向为电力系统运行与调度。Email：liyaofeng@163.com

张守龙（1983—），男，本科，助理工程师，研究方向为电力系统继电保护。Email：214364786@QQ.com