关于一阶电路时间常数求法的讨论

田社平，张 峰

(上海交通大学 电子信息与电气工程学院，上海200240)

一阶电路的响应由电路的初始状态、电路激励和电路的时间常数所决定，其中时间常数反映了一阶电路的特性，即电路的响应具有随时间衰减的指数函数形式［1］。对直流激励的一阶电路，采用三要素法求解响应时，时间常数亦是三要素之一。尽管时间常数的定义非常简单，对RC 电路，时间常数τ=RC;对RL 电路，τ=L/R。但笔者在教学实践中发现，随着一阶电路形式的不同，其时间常数的确定也有繁简之分，学生在计算时间常数时也常产生一些疑难之处。具体发生在:①一阶电路由多个动态元件和/或多个电阻元件构成时;②一阶电路包括运算放大器时;③一阶电路包括全耦合电感元件时的时间常数计算。笔者结合教学实践，试对上述问题作一讨论。

1 时间常数的一般求法

现在，我们介绍几种确定时间常数的常见方法。

［方法1］如果列出的电路方程为

式中，x(t)和w(t)分别为电路电压或电流变量和电路激励;τ 和a 为常数，τ 就是电路的时间常数，即时间常数等于一阶电路方程特征根倒数的负值。这个方法的优点是比较直观，缺点是必须列写电路方程，求解过程显得较为复杂。

［方法2］当一阶电路仅包含一个动态元件(或虽包含若干个同类型的动态元件但这些动态元件可等效为一个动态元件)时，首先求出从动态元件(或等效动态元件)两端看进去的等效电阻，然后可利用τ=RC 或τ =L/R 计算出时间常数。这是一种比较简单的计算时间常数的方法，大多数一阶电路的时间常数都可按该方法确定。

［方法3］从式(1)可以看出，一阶电路的时间常数与电路的激励无关。为方便起见，在求时间常数时可将电路的激励(电压源或电流源)置零，然后利用τ=RC 或τ=L/R 就可以计算出时间常数。

［方法4］时间常数等于一阶电路固有频率倒数的负值，因此如能求得电路的s 域网络函数，则通过网络函数也可求得时间常数。

对于简单的一阶电路，时间常数的确定可采用上述任一方法。当一阶电路具有较复杂的形式时，则上述方法的繁简程度有较大的区别。

2 一阶电路时间常数的计算

2.1 多个动态元件/电阻元件构成的电路［2］

如图1所示的电路包含两个电容，但两个电容和电压源构成一个回路，因此为一阶电路。首先运用［方法1］来求时间常数。

图1 由两个电容和两个电阻构成的电路

以电容电压为电路变量列写KVL 和KCL 方程，得

由上式得到

比较上式和式(1)，可以看出时间常数为

也可运用［方法3］来计算时间常数。将图1电路的电压源置零，可以看出，电路由R1、R2、C1、C2并联构成，因此电路时间常数满足式(4)。

可见，当一阶电路由多个动态元件和/或多个电阻元件构成时，一种较为简便的求时间常数的方法是将电路的激励置零，然后将电路等效变换为RC电路或RL 电路，再直接写出时间常数。

2.2 一阶电路包含运算放大器

如图2所示为常见的含运算放大器的一阶电路。由于运算放大器工作于线性区，因此运算放大器满足“虚短”和“虚断”特性。采用［方法2］求电路的时间常数时，可先求出从电容两端看出去的等效电阻。值得注意的是，运算放大器是有源元件，因此在求等效电阻时，无法采用电路的等效变换方法，而必须采用外施电源方法。

图2 含运算放大器的一阶电路

对图2(a)电路，采用外施电源方法求从电容两端看出去的等效电阻，将电压源uS置零，由运算放大器的“虚短”特性，可知从电容两端看出去的等效电阻为R1，因此电路的时间常数为τ =R1C。类似地，对图2(b)电路，电路的时间常数为τ=R3C。

对图2(c)电路，我们将电压源uS置零，用电压源或电流源替换电容C，如图3所示。由运算放大器的“虚短”特性可知，电阻R1两端电压为零，因此i1=0。又由“虚断”特性，得到i2=i1=0。可见，从电容两端看出去的等效电阻为u/i =R2+R3，因此图2(c)电路的时间常数为τ=(R2+R3)C。

图3 外施电源法求等效电阻

我们也可采用［方法4］来求时间常数。取运算放大器输出端电压与输入电压之比为网络函数，则图2(a)和2(c)所示电路的s 域网络函数分别为

对于图2(b)电路，如取运算放大器输出端电压与输入电压之比为网络函数，则无法求出时间常数，此时可取电容两端电压与与输入电压之比为网络函数，即

由式(5)和式(6)可以看出，采用［方法4］得到的时间常数和［方法2］相同。

2.3 一阶电路包含全耦合耦合电感元件

如图4(a)所示为一含全耦合电感的电路，由于耦合系数为1，该电路为一阶电路。为求时间常数，可将图4(a)电路等效为图4(b)或图4(c)电路［3］。

图4 含全耦合电感的一阶电路

采用［方法2］，由图4(b)电路，L1两端看出去的等效电阻为R1//(L1/L2)R2，因此时间常数为

由图4(c)电路亦可得到相同的结果。可见，对含全耦合电感元件的一阶电路，可采用上述等效变换求出等效电路，再通过［方法2］求得时间常数。

当然，采用［方法1］或［方法4］也可得到相同的结果，由于篇幅所限，不再赘述。

3 结语

时间常数在电路理论或电路分析中是一个比较简单的概念，其含义十分明确，但具有重要的物理意义，即它决定了一阶电路的响应特性。或许正是因为概念明确，因此在目前的电路教材中没有安排专门的章节来讨论时间常数的计算。本文结合教学实践，讨论了三类一阶电路时间常数的求法，这三类情况都是笔者在教学中学生感到较为疑惑的地方。通过归纳总结，可使学生更好地理解时间常数的含义及其计算方法。

［1］ 李瀚荪. 简明电路分析基础［M］. 北京:高等教育出版社.2002

［2］ 陈洪亮，田社平，吴雪等. 电路分析基础［M］. 北京:清华大学出版社. 2009

［3］ 田社平，陈洪亮，赵艾萍等. 含全耦合电感电路的求解［J］.南京:电气电子教学学报，2008，30(1):27 －29