等效求解电介质球内退极化场的前提的证明

李 力

（重庆清华中学，重庆 400054）

众所周知，在给定极化强度P的情况下，一般先求出极化电荷分布，进而求此种极化电荷分布产生的退极化场E′.对于比较简单的情形，比如“均匀极化时平行板电容器中电介质板内”和“沿轴向均匀极化的电介质细棒内”等问题，由于电介质表面上的面极化电荷均匀分布，所以用这种方法求解退极化场比较简捷［1］.

对于均匀极化的电介质球，由于球面上极化电荷面密度为σ′e＝Pcosθ（θ是球面上该点外法线方向与P的夹角）［1］，分布是不均匀的，所以直接求解退极化场就比较困难.文献［1］里用一种等效方法来间接地求解，为方便起见，抄录求解过程如下（图1）：

“我们把电介质球看成均匀带等量异号电荷的球体重叠在一起，它的极化看成两球体沿极化方向有一微小相对位移.设两球体的电荷体密度分别为±ρe，相对位移为l，则极化强度P＝ρel.两球在球内产生的电场强度分别为总场强即电介质内的退极化场为

为什么能够用这样的模型来等效地求解？这是教学中许多初学者感到困惑的地方.为此，我们只须证明这种模型中电荷面密度分布也是σ′e＝Pcosθ即可.

如图2，两半径均为R的、原本重叠的、带等量异号电荷的球体沿极化方向（设为z轴方向）错开一微小位移l，球心为O1的球带负电，球心为O2的球带正电，电荷体密度分别为±ρe.设O为新组合体的中心，过O点作与z轴夹角为θ的直线，与两球面分别交于A、B点，连接O1B和O2A，显然O1B＝O2A＝R，现在先来求月牙形在θ角处的厚度AB.

图2

在△O1OB中，因O1O（＝l／2）≪O1B，故∠O1BO→0，有

同理，在△O2OA中，∠O2AO→0，有OA≈

所以得

显然，当θ＝0时，AB＝l；当θ＝π／2时，AB＝0.

于是，面电荷密度为

这说明此等效模型中面电荷分布与均匀极化电介质球表面的极化电荷分布是相同的，从而可以用上述等效方法求解球内的退极化场.

［1］赵凯华，陈熙谋.新概念物理教程——电磁学［M］.2版.北京：高等教育出版社，2009：229，230.