带末端角度约束的离散滑模制导律设计

颜 博，田宏亮，许国栋

(中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471009)

随着防空反导技术的不断发展，直接碰撞杀伤的精确制导成为各国研究的重点。期望导弹在击中目标时，有一定的命中角度，达到最佳毁伤效果。随着作战高度和距离的不断增加，传统气动舵提供的机动能力无法满足需求，采用脉冲发动机的直接侧向力控制，成为提高导弹制导精度的必然趋势。脉冲推力在一个制导控制周期内响应一次制导指令，其工作形式是离散的，因此研究离散条件下的精确制导问题具有重要的工程意义［1］。文献［2］最早应用滑模理论设计了空空导弹制导律，由于表现出对目标机动的鲁棒性，使滑模理论成为制导律设计的热点［2-5］;为了进一步提高导弹命中精度，文献［6］提出了带有角度约束的变比例系数制导律，文献［7］设计了约束角限制的滑模制导律，文献［8］设计了带约束角的全程滑模导引律，提高了系统响应的时间;但这些研究都是假设导引头能连续探测目标信息，在实际工程中，导引头信息是离散的。文献［9-10］针对固定目标对离散制导律进行了研究，且没有考虑约束条件。在此应用离散滑模理论，设计了一种带有角度约束的离散滑模制导律。

1 导弹制导问题的数学描述

通常空空导弹在飞行过程中，要控制导不做滚转运动，滚动角保持为零，因此弹体运动可解耦为俯仰和偏航两个面的运动。在建模过程中，可以做如下假设:导弹的速度大于目标的速度;导弹机动能力大于目标的机动能力;自动驾驶仪响应探测指令的时间忽略不计。

以纵向平面为例，导弹——目标的相对运动关系如图1所示。

图1 导弹目标运动关系

由图1 可以导出如下方程［4］

式(1)、(2)中:M 为导弹当前时刻位置，T 为目标当前时刻位置;R 为导弹与目标之间的相对距离，˙R 为R 对时间的导数，表示导弹与目标之间的相对速度;Vm和Vt分别为导弹速率和目标速率;φm和φt分别为导弹和目标的速度方向角;q 为视线角为q 对时间的导数，表示视线角速率。

将式(1)和式(2)两边对时间求导，整理得

式(4)中:wR和uR分别为目标加速度和导弹加速度在视线方向上的分量;wq和uq分别为目标加速度和导弹加速度在视线法向上的分量。

取状态变量x1=q，x2=，由式(4)可得状态方程:

末制导问题中，设计制导律的关键在于通过uq控制视线角速率，令其趋近于零，实现准平行接近［3］。

2 离散制导律设计方法

2.1 滑模面的设计

防空或反导导弹制导系统的采样周期一般在10 ～15 ms之间的小量［12］，根据离散定义将连续状态方程(5)离散化得:

式(6)中:T 为采样周期，uq(k)为控制量，wq(k)为干扰量，ΔR(k)为一个采样周期内，导引头测得弹目距离的变化量。

根据经典制导武器末制导平行接近原理，控制视线角速率为零，即=0，并且希望击中目标时保持一定的期望角度，即q =q*，q*为确定的常值。为了实现这一控制目标，根据滑模变结构控制的特点，选取切换函数

其中:c 为待设计的滑模面参数，滑模参数c 越大，滑模运动段响应越快，但控制量的输出也越大，系统将有较大的抖振;c 越小，设计的控制量输出小，抖振小，但系统滑模段响应慢，动态性能变差。

2.2 离散趋近律和控制器的设计

趋近律方法是滑模变结构控制的一种典型控制策略，这种控制方法不仅可以对系统在切换面附近或沿切换面的滑模运动段进行分析，而且可以有效地对系统趋近段的动态过程进行分析和设计，从而保证系统在整个状态空间内具有良好的运动品质。采用如下的离散趋近律

其中，δ 为趋近速度函数数，σ 为符号函数增益函数，且满足δ ＞0，σ ＞0。

趋近速度参数σ 主要影响切换函数的动态过程，适当的调整该参数可改变系统向滑模面的趋近速度，改善动态品质。增益参数ε 是保证系统对外界扰动和参数摄动鲁棒性的主要参数，ε 越大抗干扰能力就越强，但会使系统的抖振变大，需要折中考虑。取

这样设计的意义在于R(k)较大时，适当放慢趋近滑模面的速率，R(k)趋向于零时，使趋近速率迅速增加，确保系统不发散，并且具有较大的抖振，对目标机动有较强的鲁棒性。根据离散滑模变结构理论［11］，为保证制导系统以任一初始状态首先趋近切换面，且不发生穿越，然后转换为准滑动模态，设计的趋近律必须满足

结合式(9)得

将式(7)、式(9)带入式(8)，并考虑状态方程式(6)，整理可得到纵向平面的控制律

2.3 稳定性与可达性分析

连续系统滑模的到达条件为s˙s ＜0，推广到离散系统，得到可达性条件

到达条件式(13)对于准滑模运动的存在是必要条件，而不是充分条件，并不能保证系统的稳定件。

因此，以李雅普诺夫稳定性定理为基础，选择李雅普诺夫函数

当满足时，系统可以从任意初态渐进趋向滑模面，可知离散滑模区存在和到达条件

采样时间T 很小时，离散滑模的存在和到达性条件等价［11］:

根据设计的切换函数式(7)与趋近律式(8)带入式(17)得:

因此，只要满足就能保证稳定性与可达性。

根据式(9)、式(11)与式(20)，满足离散滑模控制的参数条件

在实际制导过程中，导引头测量数据的采样周期T 为极小值且弹目相对速度较大，因此弹目距离R(k)相对于T 为快变量，整个制导过程中，即便是末制导过程中导引头关机时刻，R(k)/T 仍为较大值，所以λ、ε 有足够大的选择空间满足条件。

3 仿真与分析

以某导弹拦截目标为例，设导弹初始位置为坐标原点( 0，0，0)，初速度为Vm=640 m/s，弹道倾角θm( 0)=2.74°，弹道偏角φvm( 0)=4. 6°，目标相对导弹的初始位置坐标(30 000，5 000，5 000)，初 速 度Vt= 360 m/s，弹 道 倾 角θt( 0)=2.5°，弹道偏角φvt( 0)=180°;目标在法向上的加速度为aty=2gsin(0.2t)m2/s，atz=2gcos(0.2t)m2/s，的螺旋机动。导弹最大法向过载3g，忽略执行机构延时及导引头噪声影响，导引头数据采样周期10 ms，制导盲区R(∞)=1 m，进入盲区后，导弹停控，惯性飞行。离散导引律中取c =1，λ=1，ε=20，期望角度q*=90°;带约束角的离散比例导引律比例系数k=4。在离散比例制导律和离散滑模制导律作用下，仿真结果见图2 ～图4。图2 为目标螺旋机动时，采用带角度约束的离散滑模制导和离散比例制导的弹道曲线。对比弹道轨迹可以看出，2 种制导律都能较好的跟踪目标，采用离散滑模制导的弹道轨迹更优。

图2 导弹目标运动轨迹

图3 视线角随时间变化曲线

图4 视线角速率随时间变化曲线

由图3 对比2 种制导律下视线角的变化可知，采用离散滑模制导时，最终视线角约为90°，达到了期望角度。采用离散比例制导时，最终落脚约为65°，说明比例制导对视线角有所校正，但并没有到达期望值。

由图4 可以看出采用带约束角的离散滑模制导律和带约束角的离散比例制导律都能够很快的保证视线角的变化率接近零，从而实现平行接近，命中目标。采用离散滑模制导在制导末端，视线角速率的发散程度要比采用离散比例制导的发散程度小，因此具有更高的制导精度。

改变目标的运动形式，对目标加有界随机机动，导弹采用相同的制导参数，采用蒙特卡洛法，进行200 次仿真，进行脱靶量的比较，仿真结果见图5、图6。

图5 比例制导的脱靶量

图6 滑模制导的脱靶量

由仿真数据可得，设计的离散滑模制导律，平均脱靶量为约0.07 m，离散比例制导律约为0.82 m。在目标做有界随机机动时，设计的制导律能够命中目标，且比离散比例制导律具有更小的脱靶量。

4 结束语

针对连续制导系统，推导了离散状态方程，提出了一种带有角度约束的离散滑模制导律。结合离散滑模理论，采用李雅普诺夫理论分析了制导律参数的稳定条件。仿真结果表明，设计的制导律比带有角度约束的比例制导律具有更小的脱靶量和更理想的命中角度。采用蒙特卡洛仿真验证了对目标机动的鲁棒性，实用于工程应用。

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