自相关过程的修正均值控制图在MAP中的应用

岳瑞华 杨学猛 徐中英

（第二炮兵工程大学302教研室，西安710025）

自相关过程的修正均值控制图在MAP中的应用

岳瑞华 杨学猛 徐中英

（第二炮兵工程大学302教研室，西安710025）

传统控制图的应用前提是来自过程的观测值彼此独立，但通过自动化测试设备获得的校准值通常存在自相关现象，违背独立性假定。结合新型计量保证方案应用的工程实际，对观测值的自相关参数做出辨识和估计，建立一阶自回归时间序列模型，修正了传统控制图的控制限，使之适用于自相关过程。实例分析表明，当过程观测值存在自相关时使用常规控制图将得到错误的控制限设置，使用修正均值控制图则可以正确判断过程是否受控。

计量保证；控制图；自相关过程；时间序列

0 引言

基于MAP（Measurement Assurance Program）的以等效器作为核查标准和传递标准的新型导弹测发控设备计量保证方案改变了传统的人工手动操作、分散拆卸式的逐级定点计量检定方式，满足了导弹、火箭综合测试设备的计量保证需求［1－2］。

传统Shewhart控制图在MAP方案中得到了广泛应用，但是MAP方案实施的一个关键是对核查标准的测量必须是在足够宽的环境变化和工作条件范围内进行。只有这样才能把所有随机过程包括进去，即测量值必须是独立不相关的。只有当测量值独立时，才可以认为标准测量值与送检标准的测量值的随机误差分量是可以比拟的［3］。范巧成［4］证明了采用重复性条件下所得数据的标准偏差确定的平均值控制限来控制复现性条件下子组均值的波动并不妥当，并提出了简化的测量过程统计控制方法［5］。

Alwan对235个错误使用常规控制图的实际案例研究表明，超过45%的错误源于过程观测值存在自相关［6］。Shewhart在《Economic Control of Quality and Manufactured Product》中，得到对绝缘材料电阻的测量数据观测值204个，分为51组，每组4个观测值［7］。当直接运用休哈特图对样本均值数据进行监控时，共有8个点超出控制限，表明在这些时刻过程存在异常原因。然而再对204个观测值进行相关性分析后发现序列相关，独立性假设前提不成立，因此对于含有相关性的观测值使用标准方法计算控制限并不准确［8］。新型导弹测发控设备计量保证方案将计量标准器、计量校准辅助设备、环境条件、人员素质和测试方法等因素所引入的误差纳入研究，在使用某大型测试设备便携式综合计量检定仪进行高频数据采集与抽样时，得到的过程观测值并不总是满足独立的假设，而是存在自相关现象［9］。因此需要新的控制图方法应用于对过程进行控制。

1 传统Shewhart控制图

1.1 控制图原理

在使用控制图对生产过程进行监控时，可以把在一系列时刻采集到的同一质量指标数据看作一个信号的时间序列［10－11］。若该序列在不同时刻的取值不是相互独立，或者说该信号在时间上与它的滞后项相关，则称该序列具有自相关性，意在强调同一指标受历史数据的影响。如果自相关性可以忽略，且该质量指标与其它质量指标之间的相关性（互相关）也可以忽略，则可以认为该质量指标对应的时间序列在各时刻的取值相互独立且服从相同的分布，即满足独立同分布条件，称该过程为I.I.D.（independent identical distribution）过程。

Shewhart控制图基于《工业产品质量的经济控制》提出，当正常的生产过程在没有异常原因存在时，质量指标是一个稳定的随机过程X1，X2，…，Xn。其数学描述为

式中，μ＝E（Xt），εt～I.I.D.N（0，σ2）

Xt相互独立

不同时间的Xt服从同一分布，分布参数与时间无关，即Xt～N（0，σ2）。Xt的样本均值也是随机变量

1.2 常规控制图

对某过程取样本含量为n的m组（I.I.D.）观测值，令xij表示第i组数据的第j个样本测量值，则组内样本均值和标准差sw为

总合成标准偏差sc

于是可建立

2 观测数据自相关

2.1 自相关过程的辨识

对于某些采用了传感器等技术、实现了数据自动采集的过程，由于数据采集的频率较高，相邻数据的时间间隔很短，所采集或观测到的数据往往存在自相关［12］。对自相关过程的判别通常直观的采用相关图法。

构成时间序列的每个序列值X1，X2，…，Xn之间的简单相关关系称之为自相关。自相关程度由自相关系数γk度量，表示时间序列中相隔k期的观测值之间的相关程度。

偏自相关是指对于时间序列 Xt，在给定的Xt－1，Xt－2，…，Xt－k＋1的条件下，Xt与Xt－k之间的条件相关关系。其相关程度用偏相关系数Φkk度量，有－1≤Φkk≤1。

式中，γk是滞后k期的自相关系数。

如果序列的自相关系数很快地（滞后阶数k大于2或3时）趋于0，即落入随机区间，则可认为时间序列是平稳的，反之时间序列是非平稳的。若有更多的自相关系数落在随机区间以外，即与0有显著不同，时间序列就是不平稳的。

2.2 自相关过程的参数估计

MAP方案中测量过程控制参数的最初建立是基于对核查标准的认可值，即利用核查标准值的算术平均值作为表征长期值的统计量，其每一次测量的有效性通过t检验，、F检验和保证。根据时间序列理论，可以将测得的认可值序列视为因果可逆的平稳过程［13］。

若自相关观测数据可表示为一阶自回归AR（1）模型

式中，Xt为过程在t时刻的观测值；μ为过程均值；为自回归参数；εt～I.I.D.N（0，σ），为白噪声序列。

则AR（1）观测数据｛Xt｝的方差

3 修正均值控制图及两类错误

当应用传统控制图对自相关过程控制时，对过程波动的有偏估计往往导致控制图失效。可是自相关现象是过程的本质属性，它不是源于数据的采集或观测不当，也不是控制图这一工具本身的失灵，不能通过重新采集数据加以消除，也不必理解成是生产过程中必须消除的故障，应该对控制图改进，以期适用于自相关条件，因此应当采用修正均值控制图。

对于符合一阶自回归模型的观测值序列，根据式（16）可以得到包含了观测值样本的组内波动

设容量为n的每组观测数据X1，X2，…Xn为一个随机向量样本，其概率分布为n维正态分布，X＝｛X1，X2，…Xn｝为正态随机矢量，且X～N（a，B），其中矢量a＝（E（X1），E（X2），…E（Xn））为X的数学期望矢量，即均值向量；矩阵

为X的协方差阵。

当过程均值发生偏移时，假设偏移为δσ，则发生偏移之后的过程均值，此时图的第二类错误的概率：

4 实例验证

数据来自于计量站采用计量保证方案对某大型测控设备的28.5V标准电压源定期校准记录，该标准源在满足统计受控条件下每周进行一次检定，共得到50个校准数据。由其自相关函数图1和偏相关函数图2可见，该校准数据存在自相关。

利用式（15）所建AR（1）模型，根据式（16）（17）（19）估计出该自相关过程参数＝0.42，通过式（7）～（9）得到sc＝0.227。分别求出常规均值控制图和修正均值控制图的控制限见于表1。

表1 控制限对比

图1 观测值的自相关函数图

图2 观测值的偏自相关函数图

图3 常规均值控制图

对于事实上受控的标准源，图3所示为常规均值控制图，图中有1个点落在控制限外，4个点接近控制限，依据均值控制图理论，可判断此过程失控。图4所用修正均值控制图则表示过程受控。

对比图3、4可见，若忽视自相关现象的存在而采用常规控制图，会导致产生虚假警报，影响计量保证方案的使用效果。

5 结语

图4 修正均值控制图

针对自动化测试设备获得的校准值通常存在的自相关现象，采用AR（1）的时间序列模型，首先对观测值的自相关参数做出辨识和估计，修正传统控制图的控制限，使之适用于自相关过程。对计量保证方案应用实例的分析表明，使用修正均值控制图对自相关的校准数据进行控制可以有效避免在受控状态下虚发警报的情况出现。

［1］岳瑞华.导弹测试设备便携式综合计量检定技术研究与应用［D］.西安：第二炮兵工程学院，2005

［2］岳瑞华，阙浩，徐中英.MAP中的测量过程的统计控制［J］.控制工程，2007（增刊）：134－135，163

［3］王立吉.计量质量保证方案［M］.中国计量出版社，1992

［4］范巧成.对休哈特控制图中平均值控制界限的商讨［J］.计量学报，2010，31（1）：42－46

［5］范巧成，田静，祝福，等.简化的测量过程统计控制方法［J］.计量学报，2012，33（3）：284－288

［6］Alwan LC，and Roberts H V The problem ofmisplaced control limits J.Journal of Royal Statistical Society（Series C）［J］，1995，44（3）：269－275.

［7］Shewhart，W.A.，Economic Control of Quality and Manufactured Product，D.van Nostrand Company，Inc.Toronto［J］，1931

［8］张志雷.自相关过程的统计控制理论方法及算法的研究［D］.广州：暨南大学，2005

［9］Amin R W，Lee S J.The effects of autocorrelation and outliers on two-sided tolerance limits［J］.Journal of Quality Technology，1999，31（3）：286～300

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［12］孙静.自相关过程的质量控制［J］.中国质量，2001（12）：20－24

［13］张公绪，孙静.现代质量控制与诊断工程［M］，北京：经济科学出版社，1999

10.3969／j.issn.1000－0771.2013.4.23