二阶非线性三点边值问题的正解

赵冬霞

（大庆师范学院数学科学学院，黑龙江大庆163712）

二阶非线性三点边值问题的正解

赵冬霞

（大庆师范学院数学科学学院，黑龙江大庆163712）

非线性泛函分析已成为现代数学中的一个重要分支，是处理非线性问题的重要工具，尤其在处理应用中出现的大量微分方程时发挥不可替代的作用。利用锥不动点定理，并结合Green函数性质，证明了一类二阶非线性三点边值问题正解的存在性。

Green函数；边值问题；不动点

0 引言

本文研究非线性二阶三点边值问题

其中η∈（0，1），α＞0，0＜4β-α2＜π2，0＜γ≤1。讨论上面边值问题（1）在什么条件下存在正解，并证明正解的存在性。先构造出Green函数，然后将边值问题（1）转化为单积分形式的等价积分方程，并利用锥不动点定理证明其正解的存在性［1］。

在f（t，u）非奇异的情形下，本文假设如下：

（H1）f（t，u）在［0，1］×［0，+∞）上非负连续；

定义1：称函数u（t）为边值问题式（1）的正解，如果它满足u∈C1［0，1］∩C2（0，1），且在（0，1）内u（t）＞0；u（t）满足式（1）。

定理1：假设（H1），（H2）或（H1），（H3）成立，则边值问题式（1）至少存在一个正解。

1 边值问题的等价形式及格林函数估计

考虑非线性边值问题（1），根据常数变易法容易导出与边值问题（1）等价的积分方程［2］。

引理1：设φ1（t），φ2（t）是u″（t）-au′（t）-au′（t）+βu（t）＝0的两个无关解，φ0（t）是下述边值问题

的一个解，则

的任何解可表示为u（t）＝C1φ1（t）+C2φ2（t）+φ0（t）

其中f∈C［0，1］，C1，C2是任意常数。

证明：直接验证即可。

有唯一正解

这里

证明：利用常数变易法直接计算即得。

等价。而

利用u（0）＝0，u（1）＝γu（η）确定C1C2，注意到G（0，s）＝G（1，s）＝0

2 正解的存在性及证明

引理5：设E是Banach空间，K⊂E是E中的锥，假设Ω1Ω2是E中的开子集，又设全连续。

（i）如果‖Φu‖≤‖u‖，∀u∈K∩∂Ω1并且‖Φu‖≥‖u‖，∀u∈K∩∂Ω2；

（ii）如果‖Φu‖≥‖u‖，∀u∈K∩∂Ω1并且‖Φu‖≤‖u‖，∀u∈K∩∂Ω2，则Φ在K）中存在不动点。

由引理2知Φ在K∩（Ω—2＼Ω1）中存在不动点u（t），它满足Φu＝u，即u（t）是（2）的一个正解，因此u（t）是边值问题（1）的一个正解［3-4］。

即有‖Φu‖≤‖u‖

若f（t，u）有界，则存在N＞0，使对t∈［0，1］和u∈［0，+∞］有f（t，u）≤N，取R＞max｛r，Ne2α∫10G（s，s）ds｝，令ω2＝｛u∈C［0，1］，‖uu‖＜R｝，则对∀u∈K∩∂Ω2有

根据引理2知Φ在K∩（Ω—2＼Ω1）中存在不动点u（t），它满足Φu＝u，即u（t）是（2）的正解，因此是（1）的一个正解。

3 结语

对一类含双参数的二阶边值问题进行了研究，利用锥不动点定理，并结合Green函数性质，在非线性项满足超线性或次线性的条件下，证明了其边值问题正解的存在性。

［1］Li Yongxiang.Positive solutions of fourth-order boundary value problem with two parameters［M］.J.Math.Anal.Appl.，2003，281：477-484.

［2］Jiang Daqing.Optimal existence theory for single and multiple positive solutions to fourth order periodic value problems［J］.Nonlinear Analysis：RealWorld Applications，2006，7：841-852.

［3］YAOQingliu.Existence of positive Solutions for some nonlinear third order two pointboundary value problems［J］.J.of Jishou University：Natural Science，2003，24（2）：10-14.

［4］I.Rachunková.Singular Dirichlet second order boundary value problems with impulses［J］.J.Differential Equations，2003，145：435-459.

赵冬霞（1983-），女，黑龙江大庆人，大庆师范学院数学科学学院讲师，从事非线性问题研究。

大庆师范学院青年基金项目（12ZR10）。

O29

A

2095-0063（2013）06-0055-04

2013-05-25