材料力学中弯曲内力概念及计算的图例法教学设计

2013-06-22陈建伟王兴国武春廷

华北理工大学学报(社会科学版) 2013年1期

陈建伟，王兴国，杨梅，武春廷

(河北联合大学建筑工程学院，河北省地震工程研究中心，河北唐山063009)

《材料力学》是高等院校工科专业(如建筑、机械、矿业等)一门重要的专业基础课，为后续课程(如结构力学、弹性力学及专业课等)的学习奠定了重要的理论基础，该课程具有逻辑性强、贴近工程、生活实际问题等特点。在《材料力学》课程的教学过程中，既要教授学生求解具体力学问题的技能，更应注重培养学生将工程实际问题提炼成力学问题(即力学建模)的能力。近些年来，随着教学改革的发展，《材料力学》课程的学时也大大缩减，加上这本课程都是给大学二年级的学生开设，可以说是学生最早接触到与工程实际紧密结合的专业基础课，采用传统的教学手段很难向逻辑思维不强的低年级学生解释清楚，这使得该课程的教学效果大打折扣，也为后续课程的学习埋下隐患［1］，因此，在有限的时间内，既不增加学生负担又要把基本概念、基本方法阐释清楚，保证教学质量，是目前《材料力学》课程教学中一个需要认真考虑的问题。

《材料力学》课程从杆件的四种基本形式讲起，即轴向拉伸或压缩、剪切、扭转以及弯曲。对应每一种基本变形，都是按照内力计算→应力计算(强度条件)→变形(刚度条件)思路进行理论部分阐述。特别是弯曲变形形式，在一般教材中更是利用2～3章的内容进行介绍，在整个材料力学的分量很大。在多轮教学实践和信息反馈中发现，当学生学习接触“弯曲内力”这一部分时，就开始进入“混沌状态”，或者说开始进入跟不上的萌芽状态。主要反映出来的问题有弯曲内力的概念不清楚(特别是弯矩的定义)、剪力和弯矩的计算困难，剪力和弯矩的关系不清楚、剪力和弯矩符号规定与平衡方程正负号混淆等等。

为了解决上述问题，在分析多部教材的阐释方式以及对教学信息反馈深入调研的基础上，得出其中的原因主要有以下三点:1)内容抽象性。弯曲内力(如图1所示，一集中力作用下简支梁居A端x位置处的内力)，尤其是弯矩，不像其他内力指标(比如剪力的作用线方向和横截面相切)，其作用的方向难以直观想象到是与垂直于横截面内力偶矩;2)弯曲内力有两个指标，即剪力和弯矩，并且该指标随着杆件位置的变化而变化，而前几章的的受力形式均为单一指标，且不随杆件位置的变化而变化;3)学时不够造成知识点讲解不足或阐释不深入。

图1 集中力作用下简支梁的内力分析图

因此，笔者在总结多轮教学经验的基础上，提出采用图解法介绍弯曲内力基本概念以及计算方法。

一、弯曲内力基本概念的图解法教学设计

图解法是教与学实践中最重要的方法和工具之一，它的应用能使复杂问题简单化、抽象问题具体化。文中选取弯曲内力的基本概念和计算方法进行图解法分析，以引导学生准确掌握和应用知识点，提高学习兴趣、拓展思路、启迪创新思维、提高分析、解决问题的能力。

(一)弯曲内力的基本概念

为了确定梁的应力和变形，应首先确定梁在外力作用下任一截面的内力。当作用在梁上的全部外力(包括支座反力和荷载)均已知时，可以采用截面法求出其内力。针对弯曲内力——剪力和弯矩这两个概念，从内力角度可以给出如下定义1，剪力FS是构件在受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力，弯矩M是在构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩［刘］;从外力角度，可以给出如下定义2，剪力FS数值上等于该截面任何一侧所有外力的代数和，弯矩M数值上等于该截面任何一侧所有外力对截面形心力矩的代数和［许］。

(二)弯曲内力概念的两种图解方法

从定义1和定义2可以看出，弯曲内力的概念可以从外力和内力两个不同角度解释，材料力学的内力指标包括轴力、剪力、扭矩和弯矩。在学生接触这章之前，只是了解轴力、剪力、扭矩三种内力，所以，想更好地给学生引入弯曲内力，需要以力的平衡方程为基础，也就是根据力或力偶的平衡可以列出平衡方程，得出使左端或杆件整体处于平衡状态的内力。

从外力角度考虑，对于图1所示的简支梁，为确定居A端x位置处的内力，先确定所研究梁段范围内的所有外力和支座反力。如图2所示，梁左半段为研究对象，x段上承担的外力仅有FRAy，由于梁左半段处于平衡状态，则内力中必有一个与横截面相切的内力，即剪力，该定义与剪切变形的定义一致，剪力FS如图2所示，如果此时x长的梁段处于平衡状态，则可以认为内力指标中只有剪力，然而进一步对图2进行分析可知，支座反力FRAy和剪力FS组成一个力偶，会使x梁段产生顺时针转动的趋势，因此，为此达到梁段所有力和力偶的平衡，必然会在m－m截面(如图1所示)存在一个与之相反的力偶，这里称为内力偶，即弯曲内力——弯矩，内力计算时需要先求出支座反力FRAy和剪力FS组成的力偶矩，然后列力偶矩的平衡方程，即可确定弯矩值。

图2 外力角度解释弯矩图

从内力角度考虑，简支梁受如图1所示的集中力，会引起梁截面的中性层以上处于受压，习惯上称梁截面的中性层以上区域为“受压区”，相反，梁截面的中性层以下处于受拉，习惯上称梁截面的中性层以上区域为“受拉区”，杆件受压会收缩，受拉会伸长，因此，在梁截面的中性层以上部分会有轴向压力作用，其合力设为FNC，梁截面的中性层以下部分会有轴向拉力作用，其合力设为FNT(如图3所示)，其方向均垂直于横截面，内力FNC和FNT会组成一对力偶，产生绕中性层逆时针旋转的趋势，此内力偶矩可以用一内力偶矩代替，即为弯矩，即定义1。通过以上分析可知，弯矩可以由内力FNC和FNT组成的力偶代替，内力FNC和FNT分别是由一簇不等的压力和拉力简化而成的合力，因此可以说，弯矩是在构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。

图3 内力角度解释弯矩图

基于从内力角度考虑的分析结果，从内力和外力结合的角度考虑可知，内力FNC和FNT组成的力偶，可以用弯矩M代替，为了使所有外力(包括力偶)在点C处于平衡，令所用外力都对点C取矩，即弯矩M和有支座反力引起的力偶矩平衡，从而可以确定弯矩M的数值。

以上利用图解法，分别从外力、内力以及内力与外力相结合的角度，对弯曲内力——剪力和弯矩进行分析，可以看出，该方法能够直观看出内力的作用线或作用面的方向，帮助学生理解定义1和定义2，并且有助于理解和掌握弯曲内力计算原理和方法。

二、弯曲内力计算的图解法教学设计

(一)图解截面法

内力计算的截面法精髓是“截开”、“代替”和“平衡”，即进行内力计算的三个步骤，一般情况下，用截面法计算时未知力不超过三个。利用截面法之前首先要明确内力的符号规定，即能够使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。当微段的弯曲下凸(即该段的下半部受拉)时，横截面m－m上的弯矩为正，反之为负，对于图1所示m－m截面，欲求其内力均需给出正方向，如下图4表示。一般教材中在此，就给出y轴平衡方程，即可求出剪力FS，然后令所有外力对点C取矩，既可以列出力偶矩的平衡方程，从而确定弯矩M。

图4 内力与外力结合解释弯矩图

(二)弯曲内力正负号与列平衡方程的关系

教学实践中发现，一些学生极易把直接写弯矩方程的符号规定与平衡方程里的符号规定相混淆。

如图5所示，列出弯矩的平衡方程为FRAyx+M=0，从表面看好像是一时疏忽，但课后给学生辅导时发现，他认为FRAy使m－m截面产生向下凸的变形，所以取正号，显然错在弯矩的符号规定与列平衡方程时力矩的符号规定相混淆。这里给出一种避免出错的解释方法，即“同向同号法”。

“同向同号法”是在列弯矩平衡方程时，根据所有外力对截面中心C产生转动趋势的方向来确定方程中各个力偶矩的“+”和“－”，如果产生的转动趋势相同，方程中的符号也相同，反之则相反，跟弯矩符号规定没有任何关系。结合图5进行分析，支座反力FRAy绕点C会产生顺时针转动的趋势，而弯矩M的正方向会绕点C会产生逆时针转动的趋势，因此这两者的符号必然相反，即－FRAyx+M=0或者FRAyx－M=0，两个方程的计算结果均相同。