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实数题中蕴含的数学思想

2013-06-20史立霞秦振

语数外学习·上旬 2013年4期
关键词:等式实数题意

史立霞 秦振

实数是初中数学的重要内容之一,同学们若能掌握并应用数学思想解决实数题,将有利于提高解题能力.下面结合例题介绍解实数题时常用的数学思想,供大家参考.

一、整体思想

整体思想体现在解实数问题时,是不着眼于实数的“某一项”,而是将某一问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体性质,顺利解决问题的思想方法.

例1 已知四个实数a、b、c、d满足===,则 a、b、c、d的大小关系是( ).

A.a>c>b>d B.b>d>a>c

C.c>a>b>d D.d>b>a>c

分析:由题意可得a-2010=b+2011=c-2012=d+2013,然后作差求解.

解:由题意得a-2010=b+2011=c-2012=d+2013,由a-2010=b+2011,得a- b=2011+2010>0,所以a>b. 由a-2010=c-2012,得a-c=2010-2012<0,所以a0,所以b>d. 所以a、b、c、d的大小关系是 c>a>b>d.故选C.

点评:本题采用整体思想免去了一些解题过程,使解题思路清晰、解题过程简捷.

二、方程思想

有些实数问题可以根据条件中的等量关系,列出方程(组)求解.

例2 已知a、b满足+=0,求2a(÷)的值.

分析:由算术平方根的意义可得4a-b+ 1=0,b-4a-3=0,解方程组得a、b的值,然后代入求值即可.

解:因为≥0,≥0,且+=0,所以4a-b+ 1=0,b-4a-3=0,解方程组,得a=-1,b=-3,所以 2a(÷)=2×(-1)×(÷)=-2×(÷)=-2×3=-6.

点评:方程思想是解决各种数学问题常用的基本思想方法之一.

三、数形结合思想

根据已知条件的特点或图形特征,利用图形的直观性求解问题.

例3 实数a、b、c在数轴上对应的点如下图所示,化简+c-1+a+b- .

分析:由图可知ba,利用此关系化简即可.

解:由题意可得ba.

因为a>c,所以a-c>0.

因为c<0,所以c-1<0.

因为b<0,a>0,且b>a,所以a+b<0.

因为b<0,c<0,所以b+c<0.

所以 +c-1+a+b- =a-c+c-1+a+b-b+c=(a-c)-(c-1)-( a+b)+( b+c)=1-c.

点评:解题时,若借助数形结合思想让问题直观化、形象化,则有利于解决问题.

四、分类讨论思想

根据代数式的某些字母的特点,确定划分标准,进行分类,然后对每一类分别进行求解,最后给出答案.

例4 已知a是实数,试比较1+a与1-a的大小.

分析:因为(1+a)-(1-a)=2a,故要分a<0,a=0和a>0三种情况讨论.

解:因为(1+a)-(1-a)=2a,所以当a<0时,2a<0,则1+a<1-a;

当a=0时,2a=0,则1+a=1-a;

当a>0时,2a>0,则1+a>1-a.

点评:解含有字母的问题时,若字母的取值情况没有说明,则必须对字母的不同取值情况进行讨论求解.

五、观察归纳思想

在解题过程中,根据题目的特点,通过分析、猜想、归纳,从而得到问题的答案.

例5 观察下列各式:=2, =3, =4,…,请将你发现的规律用含自然数n(n>1)的等式表示出来 .

分析:观察每个等式与n的关系,把根式适当变形,分析、猜想、归纳关系.

解:=2,

=3,

=4,…,

所以上述规律用含自然数n(n>1)的等式表示出来为 =n.

点评:在解题过程中,猜想、归纳之前,一般可适当多给出一些“数值”,便于猜想、归纳,减小猜想的难度.

数学思想是数学的灵魂,因此,加强对数学思想的学习,对培养同学们的数学能力很有帮助.

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