BCK/BCI-代数的广义交软理想

杨永伟 ，辛小龙 ，孟彪龙 ，2

1.西北大学 数学系，西安 710127

2.西安科技大学 理学院，西安 710054

BCK/BCI-代数的广义交软理想

杨永伟1，辛小龙1，孟彪龙1，2

1.西北大学 数学系，西安 710127

2.西安科技大学 理学院，西安 710054

YANG Yongwei,XIN Xiaolong,MENG Biaolong.Generalized intersectional soft ideals of BCK/BCI-algebras.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：29-32.

CNKI出版日期：2013-04-09 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130409.1522.005.html

1 引言

逻辑代数是信息科学、计算机科学等领域推理机制的代数基础，而BCK/BCI-代数作为一类逻辑代数由日本学者Imai和Iséki[1]在1966年提出。胡庆平在文献[2]概括了1984年前BCI-代数的研究概貌，并介绍了BCK-代数理论。Iséki和Tabaka[3]在1976年引入了BCK-代数理想的概念，文献[4-5]对BCK/BCI-代数的理想理论作了进一步的研究。由于模糊集理论具有将复杂代数系统简化的作用，Xi[6]将其应用到BCK-代数中并给出BCK-代数的模糊子代数、模糊理想等概念。Meng等在文献[7-8]通过模糊理想以不同的方式诱导出商BCK-代数，建立了BCK-代数的模糊同构定理。而后，许多学者在BCK/BCI-代数的模糊理论方面做了大量的工作[9-11]。软集是Molodtsov[12]在1999年为解决模糊集、粗糙集等数学处理工具参数化处理不足的问题而提出的。Jun等将软集理论应用到BCK-代数中，研究了软BCK-代数的性质[13-14]。陈娟娟和李生刚[15]在BCI-代数上提出了反模糊软理想的概念，给出了模糊软理想的同构像定理和同态逆像定理。伏文清等[16-17]进一步将软集的思想运用到BCK-代数中，研究它们的相关代数性质。Çağman等[18]通过将软集、集合和群理论结合而引入了软交群的概念，从群结构的角度扩展了软集理论。Jun等受文献[18]的启发，在文献[19]中给出了交软BCK/BCI-代数和交软BCK/BCI-理想的概念，讨论了它们的性质，并探讨了二者之间的关系。

在本文中，通过参数α（α为一个集合）的引入，给出了α-交软BCK/BCI-代数和α-交软BCK/BCI-理想，使其在一定程度上推广了交软BCK/BCI-代数和交软BCK/BCI-理想的概念，然后主要讨论了交软BCK/BCI-理想的刻画方法和相关性质，获得了一些有意义的结果。这些结果进一步丰富了软集理论和BCK/BCI-代数的理想理论。

2 预备知识

定义1[1-3]一个 (2，0)型的代数(X，*，0)称为BCI-代数，若它满足以下公理，∀x，y，z∈X：

如果一个BCI-代数X满足条件（5）0*x=0，其中x∈X，则称X为BCK-代数。

性质1[4]任意的BCK/BCI-代数X具有以下性质，∀x，y，z∈X：

其中，x≤y当且仅当x*y=0。

定义2[1]设X0是BCK/BCI-代数X的一个非空子集，若∀x，y∈X0，有x*y∈X0，则称X0为X的一个子代数。

定义3[2-3]设I是BCK/BCI-代数X的一个非空子集。若 ∀x，y∈X，I满足条件：（1）0∈I；（2）x*y∈I，y∈I⇒x∈I，则称I为X的一个理想。

定义4[12]设U是一个论域，E是一个参数集，A⊆E。若函数F:E→P(U)对于任意的x∉A有F(x)=∅，则称(F，A)为U上的一个软集，记为FA，其中，P(U)为U的幂集。

设FA是论域U上的一个软集，则软集FA的像Im(FA)定义为：Im(FA)={FA(x)|x∈A}。

定义5[18]设FA是论域U上的一个软集，t⊆U，则软集FA的t-水平截集L(FA，t)定义为：

L(FA，t)={x∈A|FA(x)⊇t}

定义6[19]设E=X是一个BCK/BCI-代数，A是E的一个子代数，FA为U上的一个软集。若∀x，y∈A有FA(x)∩FA(y)⊆FA(x*y)，则称FA为U上的一个交软BCK/BCI-代数。

定义7[19]设E=X是一个BCK/BCI-代数，A是E的一个子代数，FA为U上的一个软集。若FA满足以下条件：

（1）∀x∈A，FA(x)⊆FA(0)

（2）∀x，y∈A，FA(x*y)∩FA(y)⊆FA(x)则称FA为U上的一个交软BCK/BCI-理想。

3 广义交软BCK/BCI-理想

在接下来的讨论中，若无特别说明，U始终表示一个论域，E是一个BCK/BCI-代数，A是E的一个子代数。

定义8设α⊆U，FA是U上的一个软集。若∀x，y∈A有FA(x)∩FA(y)∩α⊆FA(x*y)，则称FA为U上的一个α-交软BCK/BCI-代数。

定义9设α⊆U，FA是U上的一个软集。若FA满足以下条件：∀x，y∈A

则称FA为U上的一个α-交软BCK/BCI-理想。

注1设FA是U上的一个交软BCK/BCI-理想，则FA是U上的一个α-交软BCK/BCI-理想，但反过来不成立。

例1 设U=Z是论域，E={0，a，b，c，d}且运算 *定义如下：

则(E，*，0)是一个BCK-代数。对于E的一个子代数A={0，b，c，d}，若Z上的软集FA定义为：

FA(0)={1，3，5，7，9，11}，FA(b)={1，2，4，5，7，8}

FA(c)={2，3，5，6，8，9}，FA(d)={1，3，5，8，13}

取α={1，3，7，10，12}，容易验证FA是α-交软BCK-理想，但FA不是交软BCK-理想，因为FA(b)={1,2,4,5,7,8}⊆FA(0)={1，3，5，7，9，11}。

定理1设α⊆U，FA是U上的一个α-交软BCK/BCI-理想。

（1）若存在x∈A使得FA(x)⊇α，则FA(0)⊇α，FA(x*y)⊇α，其中y∈A。

（2）若对任意的x∈A有FA(x)⊆α，则FA是U上的一个交软BCK/BCI-理想。

证明（1）若存在x∈A使得FA(x)⊇α，由FA是α-交软BCK/BCI-理想得，FA(0)⊇FA(x)∩α=α，故FA(0)⊇α。对于任意的y∈A，又由性质1（P5）可知：

FA(x*y)⊇FA((x*y)*x)∩FA(x)∩α=FA(0)∩FA(x)∩α⊇α

（2）若∀x∈A有FA(x)⊆α，由FA是U上的α-交软BCK/BCI-理想可知，FA(0)⊇FA(x)∩α=FA(x)。对于任意的y∈A，由A是E的一个子代数可知，FA(x)⊇FA(x*y)∩FA(y)∩α=FA(x*y)∩FA(y)，故FA是U上的一个交软BCK/BCI-理想。

定理2设α⊆U，FA是U上的一个软集。若FA是U上的α-交软BCK/BCI-理想，则对于任意的t∈Im(FA)且∅⊂t⊆α，L(FA，t)非空时为E的理想。

证明 对于任意的t∈Im(FA)且∅⊂t⊆α，设L(FA，t)非空，则对 ∀x∈L(FA，t)有FA(x)⊇t，又由FA是U上的α-交软 BCK/BCI-理想知，FA(0)⊇FA(x)∩α⊇t∩α=t，故 0∈L(FA，t)。对于x*y，y∈L(FA，t)，则FA(x*y)⊇t，FA(y)⊇t，又由FA是U上的α-交软BCK/BCI-理想知，FA(x)⊇FA(x*y)∩FA(y)∩α⊇t∩t∩α=t，得x∈L(FA，t)。综上，L(FA，t)为E的理想。

定义10设α⊆U，FA是U上的一个软集。则FA关于α的扩展像EmFA定义为：

EmFA={α，FA(x)|x∈A}

定理3设α⊆U，FA是U上的一个软集，EmFA关于包含关系是一个偏序集。若对于任意的t⊆U且∅⊂t⊆α，L(FA，t)非空时为E的理想，则FA是U上的α-交软BCK/BCI-理想。

证明 假设存在x∈A，有FA(x)∩α⊃FA(0)=t1，则∅⊂t1⊆α，x∈L(FA，t1)，但 0 ∉L(FA，t1)，这与L(FA，t1)非空时为E的理想矛盾，因此，对于任意的x∈A，FA(x)∩α⊆FA(0)。假设存在x，y∈A，使得FA(x*y)∩FA(y)∩α⊃FA(x)=t2成立，则 ∅ ⊂t2⊆α，x*y，y∈L(FA，t2)，但x∉L(FA，t2)，这与L(FA，t2)非空时为E的理想矛盾，故 ∀x，y∈A，FA(x*y)∩FA(y)∩α⊆FA(x)。因此，FA是U上的α-交软BCK/BCI-理想。

定理4设α⊆U，FA是U上的一个软集。若FA是U上的α-交软BCK/BCI-理想，则

（1）对于任意的x，y∈A，x≤y有FA(y)∩α⊆FA(x)∩α。

（2）对于任意的x，y，z∈A，x*y≤z有FA(y)∩FA(z)∩α⊆FA(x)∩α。

证明（1）设x，y∈A且x≤y，则x*y=0∈A，又FA是U上的α-交软 BCK/BCI-理想，故有FA(y)∩α=FA(0)∩FA(y)∩α=FA(x*y)∩FA(y)∩α⊆FA(x)∩α。

（2）设任意的x，y，z∈A且x*y≤z，则由（1）知FA(z)∩α⊆FA(x*y)∩α，所以，FA(y)∩FA(z)∩α=FA(y)∩FA(x*y)∩α⊆FA(x)∩α。

定理5设α⊆U，FA是U上的一个α-交软BCK/BCI-理想。若对任意取定的x，y∈A使得FA(x*y)⊆FA(y)⊆α，FA(x)⊆α，则FA(x*y)=FA(x)。

证明 因为FA(x*y)⊆FA(y)⊆α，FA(x)⊆α，又FA是U上的α-交软BCK/BCI-理想，所以，FA(x)⊇FA(x*y)∩FA(y)∩α=FA(x*y)。另一方面，FA(x*y)⊇FA((x*y)*x)∩FA(x)∩α=FA(0)∩FA(x)∩α=FA(x)∩α=FA(x)，因此，FA(x*y)=FA(x)。

定理6设α⊆U，FA是U上的一个软集。若FA是U上的α-交软BCK/BCI-理想，则FA是U上的α-交软BCK/BCI-代数。

证明 对于任意的x，y∈A，由FA是U上的α-交软BCK/BCI-理想和性质1（P5）知：故FA是U上的α-交软BCK/BCI-代数。

引理1设X是一个BCK/BCI-代数，对于任意的x，y∈X，若x≠0，则x*y=0和y=0不能同时成立。

证明 当x≠0时，假设x*y=0和y=0同时成立，则x*y=x*0=0，这与x≠0矛盾，故x*y=0和y=0不能同时成立。

定理7设E是一个BCK/BCI-代数，A是E的一个子代数，定义U上的软集FA为：

其中，α⊃β，α,β∈P(U)，则FA是一个交软BCK/BCI-理想。

证明 对任意的x∈A，则FA(0)=α⊇FA(x)。对于任意的x∈A，若x≠0，由引理1知：

若x=0，则FA(x)=α⊃FA(x*y)∩FA(y)。因此，FA是一个交软BCK/BCI-理想。

4 广义交软BCK/BCI-理想的像和逆像

定义11设X，Y是两个论域，f:X→Y是一个映射，对于X上一个给定的软集FA，则FA在f下的像f(FA)≜f(F)f(A)定义为：

其中y∈f(A)。

定义12设X，Y是两个论域，f:X→Y是一个映射，B⊆Y，对于Y上一个给定的软集GB，则GB在f下的逆像f-1(GB)≜f-1(G)f-1(B)定义为：

定理8设U是一个论域，α⊆U，X、Y分别是BCK/BCI-代数，A⊆X，f:X→Y是一个同态映射，对于U上的一个α-交软BCK/BCI-代数FA，则f(F)f(A)是U上的一个α-交软BCK/BCI-代数。

证明 因为f:X→Y是一个同态映射，FA是U上的一个α-交软BCK/BCI-代数，所以，对任意的y∈f(A)，有

因此，f(F)f(A)是U上的一个α-交软BCK/BCI-代数。

定理9设U是一个论域，α⊆U，X、Y分别是BCK/BCI-代数，B⊆Y，f:X→Y是一个同态映射，对于U上的一个α-交软BCK/BCI-代数GB，则f-1(G)f-1(B)是U上的一个α-交软BCK/BCI-代数。

证明 对任意的x∈f-1(B)，

因此，f-1(G)f-1(B)是U上的一个α-交软BCK/BCI-代数。

5 结束语

本文通过在交软BCK/BCI-理想的定义中引入一个参数，给出了其广义形式。然后讨论了广义交软BCK/BCI-理想的性质，并获得一些重要的结论。本文可为通过软集研究模糊BCK/BCI-代数奠定一定的基础。

[1]Imai Y，Iséki K.On axiom systems of propositional calculi XIV[J].Proceedings of the Japan Academy，1966，42：19-22.

[2]胡庆平.BCI-代数[M].西安：陕西科学技术出版社，1987.

[3]Iséki K，Tanaka S.Ideal theory of BCK-algebras[J].Mathematica Japonica，1976，21：1-26.

[4]Meng J，Jun Y B.BCK-algebras[M].Seoul：Koyung Mon Sa Company，1994.

[5]Liu Y L，Xu Y，Meng J.BCI-implicative ideals of BCI-algebras[J].Information Sciences，2007，177：4987-4996.

[6]Xi O G.Fuzzy BCK-algebras[J].Mathematica Japonica，1991，36：935-942.

[7]Meng J，Xin X L.Quotient BCK-algebra induced by a fuzzy ideal[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics，1999，23：243-251.

[8]Liu Y L，Meng J.Construction of quotient BCI（BCK）-algebra via a fuzzy ideal[J].Journal of Applied Mathematics and Computing，2002，10：51-62.

[9] 刘用麟，张小红.BCI-代数的Fuzzyα-理想[J].数学进展，2002，31（1）：65-73.

[10]刘春辉.BCK-代数的区间值(∈，∈∨q)-模糊子代数[J].计算机工程与应用，2012，48（4）：33-36.

[11]谢跃美，王凤琼，彭家寅.BCK-代数的模糊点正定关联理想[J].四川师范大学学报：自然科学版，2012，35（1）：29-32.

[12]Molodtsov D.Soft set theory-first results[J].Computers and Mathematics with Applications，1999，37：19-31.

[13]Jun Y B.Soft BCK/BCI-algebras[J].Computers and Mathematics with Applications，2008，56：1408-1413.

[14]Jun Y B，Park C H.Applications of soft sets in ideal theory of BCK/BCI-algebras[J].InformationSciences，2008，178：2466-2475.

[15]陈娟娟，李生刚.BCI代数上的反模糊软理想和模糊软理想[J].计算机工程与应用，2013，49（9）：10-12.

[16]伏文清，李生刚.软BCK代数[J].计算机工程与应用，2010，46（10）：5-6.

[17]伏文清.软BCK代数再研究[J].计算机工程与应用，2012，48（11）：22-25.

[18] Çağman N，Çıtak F，Aktaş H.Soft int-group and its applications to group theory[J].Neural Computing&Application，2012，21：151-158.

[19]Jun Y B，Lee K J，Roh E H.Intersectional soft BCK/BCI-ideals[J].Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics，2012，4（2）：1-7.

YANG Yongwei1,XIN Xiaolong1,MENG Biaolong1，2

1.Department of Mathematics,Northwest University,Xi’an 710127,China
2.College of Science,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China

In order to investigate the properties of ideal theories of BCK/BCI-algebras further more,α-intersectional soft BCK/BCI-ideal,as a generalization of an intersectional soft BCK/BCI-ideal,is initiated by introducing a parameter to an intersectional soft BCK/BCI-ideal.Several equivalent characterizations and relevant properties ofα-intersectional soft BCK/BCI-ideals are also given.The properties of image and inverse image ofα-intersectional soft BCK/BCI-ideals under a homomorphism are discussed.

BCK/BCI-algebra;soft set;intersectional soft BCK/BCI-ideal

为了进一步研究交软BCK/BCI-理想的性质，通过在交软BCK/BCI-理想的概念中引入一个参数α，从而给出了α-交软BCK/BCI-理想的定义，并在一定程度上推广了交软BCK/BCI-理想的概念。给出了α-交软BCK/BCI-理想的刻画方法和性质。讨论了α-交软BCK/BCI-理想在同态下像和逆像性质。

BCK/BCI-代数；软集；交软 BCK/BCI-理想

2013-02-07

2013-03-15

1002-8331（2013）18-0029-04

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1302-0061

西北大学研究生自主创新资助项目（No.YZZ12061）。

杨永伟（1984—），男，博士研究生，研究领域为逻辑代数，模糊代数；辛小龙（1955—），男，博士，教授，研究领域为代数学，密码学；孟彪龙（1967—），男，博士研究生，副教授，研究领域为代数学。E-mail：yangyw2010@126.com