用小波矩阵形式改进Daubechieschies小波的正交性

张旭俊

（江西省电力科学研究院，江西南昌 330096）

0 引言

小波理论是20世纪的数学里程碑，Haar小波简单对称，但它不连续、不可微的缺点，数学家不能接受。寻找具有紧支撑、连续、可微的小波十分困难，法国著名数学家Meyer曾企图证明小波正交基（Haar小波除外）并不存在，但最后他提出多分辨小波分析方法，并由数学家Daubechies提出一个正交的小波族，当N=1时它就是Haar小波，N≥2时，就是Daubechies小波族，但两者关于小波正交的理念是完全不同的。经典小波理论是在傅里叶变换的广义积分中表达小波基正交条件的，大篇理论叙述中，迟迟不见小波在时域中的形象，读者理解较难，特别是对离散的等距采样数据的小波分析而言，由于数据长度有限，会发生边缘数据小波分析的失真。本文将用小波矩阵的方法铨明并改造Daubechies小波矩阵的正交性，用小波矩阵分析是从时域中来理解正交性的，不涉及傅里叶广义积分的概念，读者理解要容易得多，从小矩阵导入方法，读者不难用举一反三的推理，扩展到任意阶的大矩阵。

1 用Haar小波矩阵作光滑分解

作者用Haar小波矩阵来分析等距采样数据，为了分析结果的平滑，先依不同尺度进行平均值滤波、数据压缩，再光滑插值重构主体成分的“恢复像”，将“原始信号”减去主体成分的“恢复像”，就得到按时域分布的细节：“总谐波像”，它也是光滑的曲线。这样就基本上解决了对系列数据按“时-频”分析的问题。

由原始采样数据 求出小波系数C如下：

由小波系数C重构原始函数F如下：

以下只以实例说明Haar矩阵按双尺度分解的过程和结果。

设采样数据由式（4）得到f(i)，称之为F列向量，采样点数取N=2n=128点，相应的Haar矩阵B是128阶方阵，

若尺度压缩选择取2m=8倍，即略去m=3层以上的高次小波，于是只需保留B矩阵的上面2n-m=16行的数据，称作BU矩阵，它是16×128阶矩阵，函数重构解出的f1(i)步骤很简单，它无需写出128阶B矩阵作运算，其f1(i)的结果就是从开始，每连续8个点都用它们相应的平均值代替，由此所形成阶梯波的“模糊像”如图1。再将每连续8个相同的数据只保留一个（图1下的小圆圈），得到压缩数据s[k]，其中k=0、1、2、…….15，如式（5）

图1 Haar小波矩阵分析的效果

再采用光滑插值的方法，在 和 中间求双抛物线的平均值，从而将这16点压缩数据扩展成128点，就得到主体成分的“恢复像”，再将“原始像”减去“恢复像”得到“总谐波像”，它也是光滑曲线，如图1。这样就得到的“时-频”分解结果。

图2 用双抛物线法求平均插值

2 正交子波变换

多尺度表达的离散小波函数

经典小波重构的公式是：

引入双尺度函数和小波函数，及其傅里叶变换函数，如公式（9）、（10），

尺度函数和另一平移后的尺度函数应当是正交的，用公式表示如下，

同理也可得到关于小波正交条件的公式（13）

由小波函数和尺度函数的正交关系可有：

3 Daubechies小波族

法国数学家Daubechies提出了一组正交小波的滤波函数 的公式(15)：

其中 是有关 的（N-1）次多项式。

显然它满足尺度函数的正交条件（12）式。

2）当N=2时Daubechies小波的尺度滤波函数直接写出为：

展开后可得其中4个系数是：

相应的4个小波系数为：

一般也简称其为Db4小波，参考资料中对各种N下的Daubechies小波，都具有2N个尺度系数，简称Db(2N).为验证其正交性，改写（18）如下：

可得：

这种在频域中验证尺度函数的正交性，很难使读者对小波分解有感性认识，而且也见不到小波的形状。

4 Db4小波矩阵

特以N=2时的Daubechies小波为例，简称Db4小波。我们感兴趣的依然是希望能像Haar小波矩阵那样展开，一次性地把各个层次的小波都计算出来，但这是不可能做到的，这就是数学家Meyer曾企图证明小波正交基（Haar小波除外）并不存在。但最后他提出多分辨小波分析方法，就是按尺度和小波系数，一层一层地剥开，逐次显示该层次的小波和尺度的幅值，每剥一层信号点数就应当减半。为描述这个思路还是用8阶矩阵来加以说明。前4行放置尺度波形，后4行放置小波波形，如第1行是4个尺度系数，右边4个零，第5行是4个小波系数，右边4个零。第2、6行是将第1、5行向右移位2列，第3、7行是将第2、6行向右移位2列，第4、8行是将第3、7行向右移位2列，这时出现了截断的现象，有两个列跑出了方矩阵的范围。方矩阵的右边是列向量F,它是原始信号的数据等号右边的列向量X是待求的尺度幅值c和小波幅值d。从几何意义看，尺度波形就是小波波形就是，解这个联立方程就可将原始信号分解为尺度和小波的幅值，

把（24）式简写成（25）式，如果希望按原来尺度和小波的波形重构原函数，就应当如公式（26）那样，但关键是H矩阵是否是正交矩阵，验证如下：

如（27）式所示，H不是正交矩阵，需加以改造，

如果把第4、8行移位时截断的两个列，循环地移到相应行中的第1、2列上，可有（28）式，从物理意义上理解佗相当于原始数据是周期性循环的。

简写为B·F=X……（29），令人兴奋的是B矩阵是正交矩阵，

从而可有波形重构公式（32）

下面以前例128点的采样数据进行Db4矩阵的分解重构工作，先后进行3层剥离，如图3所示。为了对比在图的右边画出用Haar矩阵作光滑分解的对应结果，相当于压缩2、4、8倍，由于Haar矩阵光滑分解采用插值处理，各层的“恢复像”都有128点数据画线，比较光滑,可见用Haar矩阵作光滑分解依然具有使用方便的优势，且它能直接进入某个尺度进行分解。

图3 两种小波矩阵分析法结果的对比

5 结论

必须注意Haar矩阵的正交性可以一次性将原始采样点数据分解为：直流、2次、4次、8次……到2n-1次小波，而DB4矩阵的正交性却只能将N=2n点数据分解为：尺度和2n-1次小波，其中尺度就是所有2n-m次小波的总和，(m=2、3、……n)，DB4分解虽然不能一次到位，却能接连进行分解。法国著名数学家Meyer曾企图证明小波正交基（Haar小波除外）并不存在，然后他又提出双尺度多分辨小波的分析方法，创造出多层剥离的另一种的正交概念，这也是卓越的创举，本文用小波矩阵的方法把这两者之间的差异明白地表达出来。令人兴奋的是，在离散函数的分析时，Daubechies小波DB4、DB6、…….DB20等都可以按本文的方法构成正交的B矩阵，从而使小波分析的概念完全转到时域中来理解。

如第一节所述，Harr小波矩阵的基小波支撑区是[1,2]，没有前后的拖尾，像切香肠一样清晰，它的正交性明确。至于其不连续、不可微的缺点，可通过平均值滤波，数据压缩，光滑插值膨胀，完全得到解决。所以作者特推荐用Harr小波矩阵作光滑分解的方法。

[1]张旭俊.用小波矩阵作小波分析[J].电力系统自动化，1999（24）.

[2]张旭俊.小波分解和高次小波差分的奇异点[J].电力自动化设备，2001（2）.

[3]张旭俊.用小波矩阵分析法进行函数的分解与重构[J].江西电力，2007（4）.

[4]张旭俊.用小波矩阵分析Mallat算法的物理几何含义[J].江西电力，2010（1）.

[5]赵松年.子波变换与子波分析[M].北京：电子工业出版社，1996.

[6]程正兴著.小波分析算法与应用，[M].西安西安交通大学出版社，1998.