微分中值定理应用中构造辅助函数的探讨

樊苗

【摘 要】微分中值定理又称微分学基本定理，是微积分教学中的核心内容，在其定理的证明过程中，需要建立辅助函数， 这是一种技巧性较强的手段。构造辅助函数是高等数学证明中常采用的技巧，在应用微分中值定理解决实际问题时，到底该选择怎样的函数是需要着重考虑的问题。本文给出有直接观察、移项法 ，凑导数法，不定积分法，常数值法四种常用的辅助函数构造法，供教学参考。

【关键词】微分中值定理；构造；辅助函数

在微分学中罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理。它们揭示了函数在一点的局部性态与在整个区间上的整体性态间的关系，是用导数研究函数性质的重要理论依据。因此，在微分中值定理应用过程中，构造适当的辅助函数是最核心关键的问题。下面我们举例给出几个常见的构造方法。

1.直接观察、移项法

例1 设f（x），g（x）是R上的可导函数，f'（x），g'（x）分别为f（x），g（x）的导函数，且f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0，则当a

A f（x）g（b）>f（b）g（x） B f（x）g（a）>f（a）g（x）

C f（x）g（x）

解：观察已知条件f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0，不等式左边刚好是f（x）g（x）的导数公式，令F（x）=f（x）g（x）则有F'（x）>0从而F（x）在a

例2 利用中值定理证明当x>0时ex>1+x成立。

解析：要证题设不等式成立既要证明ex-1-x>0成立，若令f（x）=ex-1-x则f（0）=0从而问题转化为证f（x）在x>0为增函数即可进而和导数联系起来。

证明：构造辅助函数f（x）=ex-1-x，由f'（x）=ex-1，当x>0时f'（x）=ex-1>0则f（x）在x>0为增函数，即有f（x）>f（0）=0。故f（x）=ex-1-x>0，即x>0时ex>1+x成立。

2.凑导数法

在学完导数四则运算及复合函数求导法则后，做一定的练习，有一定的积累后，对一些常见函数导数公式，我们会很熟悉。譬如：

①（xnf（x））'=nxn-1f（x）+xnf'（x）

②

'=

③

'=

④（ef（x））'=λef（x）+ef'（x）

此方法是将结论变形成我们熟悉的某些函数的导数形式，并进一步向罗尔定理或拉格朗日定理结论靠拢凑出适当的函数作为辅助函数。

例3 已知f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导且f（1）=f（0）=0。证明：至少存在一点ξ使得f'（ξ）=f（ξ）成立。

解析：要使得f'（ξ）=f（ξ）成立即要找一点ξ∈（0，1）使得f'（ξ）-f（ξ）=0即 [f'（x）e+f（x）（e）']|x=ξ=0成立，因此我们设辅助函数为F（x）=f（x）e。

证明：构造辅助函数F（x）=f（x）e，由于F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，又f（1）=f（0）=0则F（1）=F（0）=0，从而由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈（0，1）使得F'（ξ）=0成立，即f'（ξ）e-ξ-f（x）e-ξ=0成立，故f'（ξ）=f（ξ）成立。

3.不定积分法

此方法是先把要证结论中的ξ换成x，再将替换后的等式变形为容易积分的形式，之后两边积分求出常数C，由此得到相应的辅助函数。

例 4 设f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（1）=f（0）=0。证明：存在点ξ∈（0，1）使得f''（ξ）=。

解析：将结论中的ξ换成x，有f''（x）=，变形得到=

两边积分∫dx=∫dx即ln|f'（x）|=-2ln|1-x|+ln|C|

从而C=（1-x）2f'（x）。

证明：设F（x）=（1-x）2f'（x），由f（x）在[0，1]上二阶可导，则f（x）在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且f（1）=f（0）=0，故满足罗尔定理条件，所以存在μ∈（0，1）使f'（μ）=0。又在（μ，1）内，F（μ）=（1-μ）2f'（μ）=0，F（1）=（1-1）2f'（1）=0，则F（x）满足罗尔定理条件，所以存在ξ∈（μ，1）?（0，1），使F'（ξ）=-2（1-ξ）f'（ξ）+（1-ξ）2f''（ξ）=0即f''（ξ）=。

4.常数值法

用此方法构造辅助函数大体分为四步：① 将结论变形，使常数部分分离出来并令其为常数k。② 恒等变形使等式一端为a及f（a）的代数式，另一端为b及f（b）的代数式。③ 观察关于端点表达式是否为对称式。若是，则把其中一个端点设为x，相应的函数值设为f（x）。④端点变量x的表达式即为辅助函数F（x）。

例5 设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导（0

解析：将结论变形为=ξ·f'（ξ），令k=则f（b）-klnb=f（a）-klna令b=x可得F（x）=f（x）-klnx。

证明：令F（x）=f（x）-klnx，其中（k=），显然F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且F（a）=F（b）满足罗尔定义，故存在在一点ξ∈（a，b）使得F'（ξ）=0即f'（ξ）-=0，从而=f'（ξ）·ξ，即f（b）-f（a）=ln·ξ·f'（ξ）成立。

以上讨论了高等数学中的重要内容—微分中值定理在应用过程当中辅助函数的几种常见构造方法。引入辅助函数具有很强的技巧性，一方面得考虑辅助函数必须满足所要用到的定理条件。另一方面，其选择应从要证明的结论结构出发，通过上述一些示例可见，选取适当的辅助函数使看起来很复杂的题目变得迎刃而解。以此更进一步可看出将一个知识点学会学精要达到灵活运用的地步实属不易，还需要我们大家继续努力。

【参考文献】

[1]同济大学数学教研室编.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2]华中科技大学高等数学教研室.微积分辅导（第二版）[M].武汉：华中科技大学出版社，2006.

[3]郭晓时.高等数学思想方法与解题研究 [M].天津：天津大学出版社，2006.

[4]任树联.谈微分中值定理运用中辅助函数的构建[J].长沙通信职业技术学院学报，2006，15（1）：103-107.