解读函数图象——找到解题密钥

刘莉莉

摘 要：近年来，函数图象的表现形式的直观效果以及内涵特征的丰富性使其在全国各地的中考中受到青睐。关于函数图象的考查，一种是通过分析已知信息进行函数图象的确定，另一种是通过对函数图像的分析，对其隐含信息进行挖掘，即已知信息→确定图象，已知图象→挖掘信息。学生在函数图象的实际操作处理过程中，常会在函数图象和数学信息的互译出现部分差错，从而导致最终结果的不正确性。因此，通过对函图象的解读，促进学生解决函数问题的能力提高，进一步提高学生的数学思维水平。

关键词：一次函数；图象；解题思路

一次函数是一种承载数形结合的工具，是以图形结合的方式实现数学问题的解决。在初中数学中，一次函数以一次不等式、二元一次方程、二元一次方程组之间的关系十分密切。在数学学习中，对于不等式、方程解的个数、函数图象等问题，通常可以利用与之相对应的函数图象作为该问题的突破口进行解决，从函数图像的解读过程中中获取所需的关键信息，根据函数图象快捷直观地解决问题。

一、一次函数图象与直线

众说周知，一次函数的图象是一条直线，方程式y=kx+b，（其中k、b是常数，k≠0）。我们一般会将一次函数说成直线y=kx+b，而不是直接说一次函数y=kx+b。在以前学过的数学知识中可以了解到，一条直线用两个点就可以确定。所以，对于一次函数图象的确定，可以寻找两个点就可以了。通常关于这两点的确定是采用二元一次方程y=kx+b的解实现的。因此，学生需要牢固的掌握

坐标轴和直线之间的交点，直线和坐标轴相交点的坐标分别是

那么，反过来讲，一条直线可以不可以表示一个一次方程呢？答案当然是否定的，如方程x=2是一条过点（2，0）且和y轴平行的一条直线，但是x=2不是一次函数。由此我们可以看出，一次函数和直线之间的关系并不是可以相互转换的，即：每个一次函数均可以用直线来表示，但并不是每条直线都是一次函数。

二、一次函数、一元一次不等式以及二元一次方程（组）

一次函数的解析式y=kx+b是一个关于x、y的二元一次方程。在平面直角坐标系中，直线y=kx+b所有点的纵横坐标则为此二元一次方程的解。

直线l1：y=k1x+b1和直线l2：y=k2x+b2的图象在同一个平面直角坐标系内，两条直线相交于坐标为（m，n）的P点，因此方程组y=k1x+b1

y=k2x+b2的解为x=m

y=n。关于x的不等式k1x+b1>k2x+b2，其实质是求当x取何值时，一次函数y=k1x+b1的图象位于y=k2x+b2的图象上方。经过分析，我们可知：当x>m时，一次函数y=k1x+b1的图象位于y=k2x+b2的图象上方；以P点的坐标为分界点，当xk2x+b2的解集是x>m。

由此可以看出，一次函数、一元一次不等式以及二元一次方程（组）和函数图象的结合，可以简单容易的求出相关的解或者

解集。

三、正确认识函数图象，寻找解题突破口

小方骑自行车从家出发，沿着一条直线形的道路到距离2400 m远的银行办事。与小方从家出发的时间相同，小方的父亲以96 m/min

的速度沿着同一条路从银行步行回家。小方在银行停留两分钟后直接沿原路原速度返回。设小方和父亲出发后经历的时间为t min时，小方和家之间的距离是s1 m，小明父亲和家之间的距离是s2米，下图中的折线OABCD表示的是s1时间t之间的函数关系，线段EF表示的是s2和时间t的函数关系。

（1）写出A、B两点之间的坐标并解释其实际意义；

（2）求出s2和时间t的函数关系式；

（3）小方从家出发后，需多长时间可以在返途中追上父亲？此时他们和家之间的距离是多少？

分析：小方和父亲和家之间的距离、时间关系图是在同一个平面直角坐标系中的图象，我们可以图中获得跟更多的相关信息，这些信息可以将上述问题顺利的解决。

1.题中提到小方在银行有两分钟的停留时间，因此，图中OABCD折线表示的是小方和家的距离与出门时间t的函数关系，那么，线段EF则表示下方父亲和家的距离与出门时间t的函数关系。

2.OA线段表示小方从家到银行的过程，从图中s1-t的函数关系可知，10 min后小方到达银行。在这个过程中前行了2400 m，因此，小方到银行的前行速度是每分钟240 m，故OA段的表达式为s1=240 t，在银行办事的这两分钟的内小方和家之间的距离始终是

2400 m，因此，AB表示的是小方在银行办事时的s1-t函数关系。题中已经明确的指出小方从家到银行的往返速度是相同的，故小方从银行回家用的时间也是10 min，由此可求出（22，0）是D点的坐标，从而得出小方在返回家时的函数解析式为s1=-2400t+5280。

综上所述，可以得出：s1=240t（0≤t<10）

2400t（10≤t≤12）

-240t+5280（12

3.小方父亲是以96 m/min的速度沿同一条路从银行步行回家，全程为2400 m，故小方父亲从银行到家需要25 min，故F点坐标为（25，0），已知E点坐标为（0，2400），利用待定系数法出EF的函数表达式为s2=-96t+2400。

4.根据坐标点D（22，0）、F（25，0）可以看出，小方比父亲到家的时间早3分钟。

5.C点是BD和EF的交点，在此时小方和父亲和家之间的距离是相同的，s1=s2=s，也就是说此时小方追上了父亲，通过对方程组s=250t+5280

s=-96t+2400进行解析，可以得到t=20

s=480，因此C点的坐标为（20，480）。

通过上述分析可以轻松地将题中的三个问题予以解答。由此可见，在中学数学函数的学习过程中，了解并掌握函数表达式和图像之间的关系，这两者的融会贯通对学生函数的学习有很大的帮助，甚至是在整个数学学习过程中有很重要的作用和意义。

总之，在初中函数的学习过程中，通过对函数图象的正确解读，在正确解决函数问题的同时，也提高了学生对函数问题的解决能力，有利于培养和提高学生的数学思维能力。

参考文献：

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[2]唐小奎.学习函数及其图象应掌握的几个问题[J].中国科教创新导刊，2011（3）.

[3]苏建强.解读函数图象提高思维水平[J].教学月刊，2008（21）.

[4]苏建强.一次函数图象的画与读[J].今日中学生，2011（35）.

[5]刘志凤.一次函数应用面面观[J].中学生数理化，2011（10）.

（作者单位 江西赣州南康市第五中学）