探秘三角形中的不等关系

吴晓刚

我们已经学会用不等式的知识来解决许多生活中的问题，下面请同学们一起来用不等式的知识探索平面图形——三角形中的不等关系.

首先我们想到的三角形中的不等关系就是“三角形的任意两边之和大于第三边”，这个大家都知道，比如图1的△ABC中，AB+AC>BC.其实，这个结论可以变一下形，根据不等式的性质可得AB>BC-AC，即BC-AC

那么，三角形中还有哪些不等关系呢？如图2，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD必大于∠A与∠C.这是为什么呢？我们知道∠A+∠ABC+∠C=180°，且∠ABC+∠CBD=180°，那么可以得到∠CBD=∠A+∠C，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，必然地就可以得到∠CBD>∠A，∠CBD>∠C，概括为“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”.

我们再看图1，这个三角形的三条边都不相等，BC>AB>AC，三个角也不相等，∠A>∠C>∠B，它们之间有什么联系吗？那是当然的.如图3，作∠BAC的平分线AD，将△ABC沿AD翻折，使△ADC翻折到△ADE，由于AB>AC，因此点C落在线段AB上的点E，于是∠C=∠AED.因为∠AED是△BED的外角，根据“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”得∠AED>∠B，即∠C>∠B.也就是说：当AB>AC时，∠C>∠B，可以概括为“在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，简记为“大边对大角”.反之亦成立.

这样，我们就得到了三角形中的3个具有不等关系的结论：

结论1 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

结论2 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角；

结论3 在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，简记为“大边对大角”.反之亦然.

下面我们再来探一探三角形中其他衍生的不等关系，我们可以运用不等式的性质和上面的3个结论进行说明.

一、 三角形内一点衍生的不等关系

例1 如图4，D是△ABC内任一点，连接DA、DB、DC.

说明：（1） AB+AC>DB+DC；

（2） AB+BC+CA>DA+DB+DC；

（3） ∠BDC>∠BAC.

【解析】（1） 因DB、DC、AB、AC并不是同一个三角形中的线段，所以只有构造出可以沟通它们之间关系的图形才能加以说明.延长BD交AC于P，在△ABP中，AB+AP>PD+BD①，在△PDC中，PD+PC>CD②，①+②得AB+AP+PD+PC>PD+BD+CD，所以AB+AC>DB+DC；

（2） 根据（1）中的结论AB+AC>DB+DC①，同理可得：BA+BC>DA+DC②，CA+CB>DB+DA③，①+②+③得2AB+2BC+2CA>2DA+2DB+2DC，所以AB+BC+CA>DA+DB+DC.

（3） 根据（1）中的辅助线可知∠BDC是△CDP的外角，则∠BDC>∠CPD；而∠CPD是△BAP的外角，则∠CPD>∠BAC，故根据不等式的传递性可知∠BDC>∠BAC.

二、 三角形内两点衍生的不等关系

例2 已知：如图5，E、F是△ABC内的两点，连接BE、EF、FC.

说明：AB+AC>BE+EF+FC.

【解析】因为要证的线段没在同一个三角形内，它们没有直接关系，需要构造三角形，使它们在同一个三角形中，才能利用三角形三边关系来证.

【方法一】如图6，将线段EF向两端延长，分别交AB、AC于点M、M.在△AMN中，AM+ AN>MN，即AM+AN>ME+EF+FN①；在△BME中，BM+ME>BE②；在△CFN中，FN+CN>FC③.①+②+③得AM+AN+BM+ME+FN+CN>ME+EF+FN+BE+FC，即AB+AC>BE+EF+ FC.

【方法二】如图7，分别延长BE、EF交AC于点O、K.在△ABO中，AB+AO>BE+EO①；在△OEK中，OE+OK>EF+FK②；在△KFC中，FK+CK>FC③.①+②+③得AB+AO+OE+OK+FK+CK>BE+EO+EF+FK+FC，即AB+AC>BE+EF+FC.

【方法三】如图8，延长BE交AC于点O，延长CF交BO于点J.在△ABO中，AB+AO>BE+EO①；在△OJC中，OJ+OC>JF+FC②；在△JEF中，JE+JF>EF③.①+②+③得AB+AO+OJ+OC+JE+JF>BE+EO+JF+FC+EF，即AB+ AC>BE+EF+FC.

三、 三角形角平分线衍生的不等关系

例3 如图9，△ABC中，AB>AC，AG平分∠BAC.

说明：BG>GC.

【解析】因为AG平分∠BAC，故可将△ABC沿AG翻折，使△ABG翻折到△AQG，由于AB>AC，因此点B落在线段AC的延长线上点Q，于是BG=QG，∠B=∠Q.因为∠GCQ是△ABC的外角，根据“三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角”知∠GCQ>∠B，即∠GCQ>∠Q.在△GCQ中，∠GCQ>∠Q，根据“大角对大边”可得QG>GC，所以BG>GC.