分析错误原因 走出解题误区

刘德广

在《证明》这章的学习中，涉及命题的识别、判定以及写出互逆命题等.初学这些问题，同学们往往会走入误区，犯这样或那样的错误.本文列举一些常见的错误，让我们共同分析其中的错误原因，走出解题误区.

一、 不能正确识别命题

例1 下列语句中，是命题的为（ ）.

A. π是无理数 B. 今天天气好吗

C. 连接A、B两点 D. 取线段AB的中点

【错误解答】C或D.

【错因剖析】判断一件事情的句子叫做命题.选项C和选项D，仅仅表示作图的过程，不能对某件事情作出判断.由于有的同学误以为是陈述一件事情的句子就是命题，因而出现解题错误.

【正确解答】A.

【方法归纳】数学命题往往都可以表示成“如果……，那么……”的形式.命题是陈述句，但不能是疑问句、感叹句或祈使句，也不能是画图语句或猜测.

二、 不能识别命题的条件和结论

例2 命题“互为相反数的两个数的和为0”的条件是_______，结论是_______.

【错误解答】互为相反数的两个数 和为0

【错因剖析】简单地将命题分成两部分，误以为其中一部分就是条件，另一部分就是结论.

【正确解答】两个数互为相反数 这两个数和为0

【方法归纳】确定数学命题的条件和结论时，往往首先改写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”部分即为条件，“那么”部分即为结论.

三、 不能识别命题的真与假

例3 下列命题：（1） 两点之间，线段最短；（2） 150°的补角是50°；（3） 垂直于同一条直线的两条直线平行；（4） 过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条.其中属于真命题的有（ ）.

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【错误解答】C或D.

【错因剖析】如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题；如果条件成立，不能保证结论成立，这样的命题叫做假命题.命题（2），由于对于补角的概念不能正确理解，导致出现“条件正确，但结论不正确”；命题（3），忽视了另外一种情况——不在同一平面内的情形，因而“条件正确，但结论不正确”；命题（4），缺少前提条件“直线外一点”.

【正确解答】A.

【方法归纳】对于命题的真假判断问题，解题时只要熟记有关定义、性质、判定定理等，就能很容易地作出判断.

四、 不能正确构造一个命题的逆命题

例4 命题“两负数的和是负数”的逆命题是_______.

【错误解答】负数是两个负数的和

【错因剖析】“两个负数的和是负数”可以改写成“如果两个数是负数，那么这两个数的和是负数”，因此，其逆命题为“如果两个数的和是负数，那么这两个数是负数”.有的同学在改写命题时不对其加以整理，而只是将它机械地分成两部分，因而导致出现错误.

【正确解答】如果两个数的和是负数，那么这两个数是负数或和为负数的两数是负数.

【方法归纳】构造一个命题的逆命题时，往往先改写成“如果……，那么……”的形式，再把其中的条件与结论互换位置，即可得到原命题的逆命题.

五、 不能确定命题的逆命题真与假

例5 下列命题中，逆命题正确的是（ ）.

A. 对顶角相等

B. 直角都相等

C. 内错角相等，两直线平行

D. 若x=2时，则a2b与a|x|b是同类项

【错误解答】D.

【错因剖析】分别写出各个选项的逆命题，“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，“直角都相等”的逆命题是“相等的角都是直角”，“内错角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，“ 若x=2时，则a2b与a|x|b是同类项”的逆命题是“若a2b与a|x|b是同类项，则x=2”，再判断其真假性.显然，“两直线平行，内错角相等”是正确的.有的同学往往由于不能正确把握原命题的结构，确定其条件与结论，再判定逆命题正确与否，导致出现错误.

【正确解答】C.

【方法归纳】解答这类问题时，往往先根据原命题的结构、确定其条件与结论，再构造其逆命题，最后判定所得逆命题正确与否.