富有趣味的二元一次方程组试题

颜士彬

近年来关于方程组的题目在紧扣教材的同时，进行了适度延伸，改变了呆板单一的模式，显得新颖活泼，格调清新，令人耳目一新.我们在解答此类问题的同时，既提高了对数学知识的理解能力，锻炼了思维能力，又可以得到美的享受，陶冶了情操.现作如下分类，供同学们在学习时参考.

一、 诗歌类

例1 周瑜寿类：

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十比个位正小三，个位六倍与寿符.

哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？

【分析】诗的意思是“周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数”.

解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，根据题意，得

x+3=y，6y=10x+y. 解得：x=3，y=6.

答：这个两位数是36，即周瑜活到36岁时病逝.

例2 八戒吃仙果.

三种仙果红紫白，八戒共吃十一对；

白果占紫三分一，紫果正是红二倍.

三种仙果各多少？看谁算得快又对？

解：设红果x只，紫果y只，则白果（22-x-y）只，根据题意，得

22-x-y=■y，y=2x.解得：x=6，y=12.

答：红果6只，紫果12只，则白果4只.

下面两个诗歌算题同学们能通过列方程组算出来吗？

1. 敌军和狗.

一队敌军一队狗，两队并成一队走，

脑袋共有八十个，却有二百条腿走.

请君仔细算一算，多少敌军多少狗？

2. 武大郎卖饼.

武大郎卖饼串满街，甜咸炊饼销得快；

甜三咸二两厘一，咸四甜二两厘二.

各买一张甜咸饼，武大郎饼价该怎卖？

二、 寓言故事类

例3 古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗，如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”问驴子和骡子原来所驮货物的袋数分别是多少？

解：设驴子原来所驮货物的袋数是x，骡子原来所驮货物的袋数是y.

由题意得2（x-1）=y+1，x+1=y-1.解得x=5，y=7.

答：驴子原来所驮货物的袋数是5，骡子原来所驮货物的袋数是7.

例4 《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中有一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子为整个鸽群的■，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

解：设树上有x只鸽子，树下有y只鸽子，由题意可列：y-1=■（x+y），x-1=y+1.整理得：2y-x=3，y-x=-2.解之可得x=7，y=5.

答：树上原有7只鸽子，树下原有5只鸽子.

三、 开放类

例5 写出一个解为x=1，y=2的二元一次方程组 .

解：根据x=1，y=2逆向思考，代值反推，可知：x+y=1+2=3，x-y=1-2=-1.故解为x=1，y=2的二元一次方程组可以是x+y=3，x-y=-1.

【点评】值得注意的是，本题容易想到xy=1×2=2，构造出方程x+y=3，xy=2.但它并不是一个二元一次方程组，从而导致错误答案；同时本题的答案众多，结论开放，给了我们很多思考的空间，对培养思维的发散性、严密性、批判性大有裨益.

例6 试着编一道能用二元一次方程组解答的应用题，并使得这个方程组的解是19，20.

【分析】先列出一个解为19，20的方程组，比如x+y=39，4x+8y=236再根据方程组结合实际编一道应用题，只要合理符合要求即可.

【解答】某蔬菜公司收购到某种蔬菜236吨，准备加工后上市销售.该公司加工该种蔬菜的能力是：每天可以精加工4吨或粗加工8吨.现计划用39天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工？

解：设安排x天精加工，y天粗加工.

根据题意，得x+y=39，4x+8y=236.解之得x=19，y=20.

答：安排19天精加工，20天粗加工.

【点评】本题是开放题，注意所编应用题的合理性.