7 折线型滑面极限分析上限法

7 折线型滑面极限分析上限法

7.1 折线型滑面边坡极限分析法

折线型滑面破坏机制是指边坡表部和浅部的堆积体（残坡积、冲洪积、风积）及其下的风化卸荷破碎岩体沿着基岩面产生滑动的一种破坏机制，滑裂面多呈不规则的折线形。这种形式的破坏在自然界是比较普遍的，例如三峡库区奉节县就有很多这样的库岸边坡，另外在陕西南部的秦巴山区也普遍发育这一种斜坡地貌。对于这一类型边坡的稳定性评价计算一般采用国家规范《岩土工程勘察规范》(GB 50021—2001)中推荐的不平衡推力法。由于不平衡推力法没有考虑力矩平衡条件，因此目前的一些分析结果表明，其分析结果在某些情况下产生的误差很大，并且计算结果偏大。萨尔玛法（Sarma，1979）是计算折线滑面边坡稳定的一种公认比较好的方法，但其要求对滑体按节理构造斜分条，对于岩质边坡应用较多，但对堆积体边坡不是很适用。摩根斯坦-普莱斯法（Morgenster - Price，1965）对土坡稳定性进行极限分析计算最一般的方法，对于折线滑面很适用，但其假定沿相邻土条法向力和切向力之间存在一个水平方向坐标函数不好确定，且微分方程的求解也很繁琐，因此使用起来比较困难。简布法（Janbu，1965）对于不规则滑面的土坡很适用，同时这种方法满足力矩和力平衡条件，但要求假定条间力的作用点位置。陈祖煜从极限分析理论出发，提出了岩质边坡斜分条法（陈祖煜，等，2005；Donald 和 陈祖煜，1997；陈祖煜 和 Donald，1988）。在本章中，笔者采用垂直分条折线型滑面的工程地质计算模型，以堆积体边坡为研究对象，采用极限分析方法为基础，依据虚功率方程，得到了简化的垂直分条折线型滑面边坡稳定系数计算的极限分析上限解。这与岩质边坡斜分条极限分析法属于同一类，但又有一定的差异之处，表现在适用对象不同、分条法不同两个方面。垂直分条折线型滑面边坡稳定系数计算的极限分析上限解是一个精密的数学解，是解决堆积体型边坡、滑坡稳定性计算的一种新方法。

7.2 垂直分条折线型滑面破坏机制

7.2.1 折线型滑面机动许可速度场

折线型滑面边坡极限分析法是将材料的本构关系简化为理想刚塑性应力-应变关系，利用刚塑性体处于极限状态的普遍原理——上限定理求解边坡稳定性的一种方法（陈惠发，1995）。首先将边坡按照折线滑面的转折点垂直离散为一系列的条块（见图7-1），视每一条块为刚体，滑面和条间错动的部位被视为塑性体。以第i条块为例，其变形速率为vi，与该条块底面线夹角为φi；该条块与左边相邻第i-1条块的相对速度为为vi,i-1，此相对速度与相邻两条块的垂直分界面的夹角为φi,i-1。为了使由n个条块组成的机构的位移是协调的，就要求相邻两个条块的移动不能导致它们重叠或分离，或者说要求相邻条块（以第i和第i-1条块为例）底面的速度vi，vi-1与条块间垂直界面的相对速度vi,i-1组成的速度矢量要闭合。

图7-1 垂直分条折线型滑面边坡破坏机制

式中：vi,i-1为相邻条块竖向速度间断面的相对速度；φi,i-1为相邻条块竖向速度间断面的内摩擦角；θi，θi-1分别为第i个条块与第i-1个条块底面的倾角；φi，φi-1分别为第i个条块与第i-1个条块折线滑面位置的内摩擦角；vi，vi-1分别为第i个条块与第i-1个条块折线滑面位置的速度。

7.2.2 折线型滑面边坡虚功率原理

当边坡变形破坏时，内能的耗散只发生于条块的底面（滑面）和条间界面处，在条块内为零。条块的底面和条间界面是速度间断面，速度间断面可以看作是一个薄层塑性变形区，速度在层内发生急剧而连续的变化。因此，在该薄层塑性变形区内将有内能的耗散。文献（龚晓南，1997）指出，只要能合理地计算出能量耗损，速度间断也是允许的。这种间断面可以被认为是连续速度场的极限情况。在这种情况下，速度分量（一个或多个）在跨越窄过渡层时变化很快，因而为了方便起见，可以用间断面来代替。间断速度场不仅提供了方便，而且往往还可获得实际的破坏模式或破坏机制。沿速度间断面内能的耗散率计算，是将薄层的塑性变形区视为速度间断面，而将两侧视为刚体。

极限分析法对于虚功原理的描述是：作用在边坡上的外荷载和岩土体自重所做的外功率与塑性变形区的内部能量耗损率相等。由于已经假设条块为刚体，因此，能量耗损只发生在滑面和竖向速度间断面上。内部能量耗损率计算公式为

上式中等号右端第一项表示沿滑面的内能耗损率，li，ci分别为第i个条块底面（滑面）长度和黏聚力；第二项表示竖向速度间断面的内能耗损率，hi,i-1，ci,i-1为相邻条块交线高度和凝聚力。

由岩土体自重和外部作用荷载产生的附加铅直向荷载所做的外功率计算公式为

式中：Wi为第i个条块的自重；Ti为外部作用荷载分配给第i个条块的铅直向附加荷载。

当边坡处于极限破坏状态时，根据内外功率相等的条件（D内=W外），即可建立虚功率方程。

7.2.3 极限分析上限解的公式推导

应该注意，在虚功率方程中的力学参数c，φ并不是边坡正常工作状态时的值，或者说并不是由土工试验提供的试验参数，而应该是用来维持内外功率相等的岩土材料强度储备cd，φd值。材料强度储备稳定系数的定义是：沿某一滑面的实际工作状态的力学参数c，tanφ与用来维持边坡内外功率相等的换算力学参数cd，tanφd之比，其公式为

考虑到折线滑面以上的岩土主要是风化卸荷破碎岩体和第四系的残坡积物，厚度变化大，物理力学参数离散度大，因此为了简化计算，可以将条块垂直速度间断面上的力学参数取统计平均值c'和φ'。公式（7-1）和式（7-2）是速度递推公式，分析可知，vi，vi-1可以表示为v1的表达式。联立式（7-1）、式（7-2）、是（7-5）和虚功率方程D内=W外，可得到折线型滑面边坡稳定分析的上限解计算公式（王根龙，等，2007）

式中：

在计算时，应该注意式（7-6）右端的φ值要取维持边坡极限平衡状态的换算指标：

7.3 工程算例

7.3.1 三马山滑坡的垂直分条法折线滑面上限解

三马山滑坡是三峡库区奉节移民新城区有争议的重大滑坡之一，属于三峡库区滑坡塌岸防治研究专题。该滑坡是一个基岩古滑坡，滑坡体中上部有约30m厚坡积、冲洪积、残积的第四纪晚更新世和全新世堆积物，前缘分布较薄，下部为巴东组第三段（T2b3）灰色泥质灰岩，属风化卸荷碎裂岩体，均受到坡体滑动不同程度的扰动。滑床面以下主要为巴东组第二段（T2b2）紫红色泥岩夹粉砂岩，弱风化到微风化。根据钻探资料显示，滑带主要位于巴东组第二段顶部，滑面由钻孔控制点连接形成折线型，坡体中存在地下水，水位埋深30～80m。

采用折线型滑面极限分析方法，不考虑外荷载作用（如地震力）的影响，选用枯水位线时的典型剖面（见图7-2）作为计算模型，对三马山滑坡进行稳定性计算。

将滑体分为6个条块，划分条块主要依据钻孔确定的滑面位置，分条数据和物理力学指标的选取见表7-1。经过计算，得到的稳定系数为1.46；采用规范法推荐的不平衡推力法计算，得到的稳定系数为1.52。从稳定系数计算结果比较来看，采用本文的方法要比不平衡推力法计算结果小一些（小4%），这样的计算结果可以克服不平衡推力法计算结果偏大的影响，从而对堆积体滑坡、边坡的稳定计算具有一定的实用性。

图7-2 三马山滑坡极限分析工程地质图

表7-1 三马山滑坡极限分析计算数据

7.3.2 紫阳县滑坡的垂直分条法折线滑面上限解

紫阳县位于陕西省南部的安康地区，是秦岭山脉南部的一个典型山区县，在该县发育有较多的沿基岩面变形滑动的危险坡体和滑坡。针对紫阳县一典型的沿基岩面折线型滑面滑坡（见图7-3），笔者采用从塑性极限分析理论得到的折线形破坏机制进行了分析计算。

分析过程中将基岩面以上的土坡依据滑面的形态划分为五个土条，在只考虑土体自重荷载作用时，采用公式（7-7），得到的安全系数值为0.843。计算用到的基本数据见表7-2。对同一滑坡采用不平衡推力传递法得到的安全系数值为0.941。两种方法结果相比较，可以得到结论，即本文所采用的塑性极限分析条分法方法是合理的，计算结果比较理想。

图7-3 紫阳县滑坡极限分析工程地质图

表7-2 紫阳县滑坡塑性极限分析条分法计算基本数据