概率统计课程中的数学思想方法研究

2013-04-30高继梅

周口师范学院学报 2013年5期

高继梅

（周口师范学院数学与信息科学系，河南周口466001）

概率论与数理统计知识与方法是现代工程、信息、社会和经济研究运用的基本方法，它为人们探索事物变化规律提供了新的方法.只有很好地掌握了概率统计这类专门研究随机现象的统计规律性的科学方法和手段，才可能探索随机现象的规律.近年来概率统计已被广泛应用于其他学科领域，如地球科学、生命科学、人工智能、金融和通讯网络中，并且越来越受到人们的重视.在概率统计教学过程中，如果将有关的数学思想方法加以适时地渗透和介绍，则对提高学生学习这门课程的兴趣，增强思维能力和解决问题的能力，有着非常重要的意义.

1 化归转换的思想方法

所谓“化归”的数学思想方法，就是转换.在解决概率问题时，把需要解决的对象，通过一定的转化过程，归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题中，以得到原来问题的解决方案，这即是化归转换的数学思想方法.这种方法在概率统计课程的教学中得到了广泛的应用.

如事件的关系与运算.一个随机事件就是一个特殊的集合，是一个以样本点为元素的集合，所以，时间的关系与运算完全转化为集合的关系与运算.又如古典概型问题.事件概率的求解转化为求样本空间中的样本点总数和事件的有利样本点数，样本点数的求解往往转化为求排列数或求组合数.

例1 在40个同样的零件中，混入8个次品，必须一个一个的查出，求正好查完22个零件时，找全8个次品的概率？

解由于零件相同，看48个零件为48个位置，其中有8个位置放次品（8个次品也认为相同）有种放法；要第22个位置放一个次品，前21个位置中要放7个次品，其余位置都是正品，有种放法，所以正好查完22个零件时，找全8个次品的概率为

在这个问题中，求概率问题转化为求排列组合问题.

几何概型问题，事件概率的求解转化为求欧式空间中的某一有限区域（如长度、面积、体积）度量值，如著名的蒲丰投针试验：

例2 平面上有等距平行线一族，距离为d，向平面上任投一枚长度为L（L＜d）的针，求针与直线相交的概率？

解以X表示针的中点到最近平行线的距离，用α表示针与直线的夹角，则

设A＝“针与直线相交”，则

所以

该问题中求概率转化为求几何图形的面积，从而使问题得以解决.

2 数形结合的思想方法

在数学的研究过程中，数与形是最基本的两类研究对象，利用数与形密切联系的特点，人们能找到更好求解问题的方法，从而认识和研究客观世界.数形结合思想，也即是通过数的规范性与形的直观性，进行数形之间的相互转化，达到解决数学问题的目的.

概率与数理统计课程中的许多内容充分体现了数形结合的思想方法［1］.

（1）在研究事件的互不相容、独立、互斥等关系时可以用文氏图的方法来加以分析揭示，并且使得事件之间的关系一目了然，问题的分析也简单明了、更易于理解.

（2）通过画出完备事件组的示意图，可以实现对全概率的计算，并使问题的结果更易于理解，这样贝叶斯公式的含义也得到较好的诠释.

（3）在几何概形中，利用平面、线段以及空间图形等来直观地分析、判断事件发生的概率的大小.对事件概率的计算，也正是根据图形的面积、长度或体积来完成的.

（4）正态分布的钟形图形让人对它的“优良品质”记忆深刻.通过对图形的分析来计算正态分布的随机变量值，寓意深刻，计算也易于操作.

数形结合的例子还有很多.

例3 一次同时投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率.

分析在抛骰子问题中要注意基本事件数一般分为36种，但其中一部分的问题能灵活地表示样本空间.

解设A表示 “出现点数之和为奇数”，用（i，j）记 “第一颗骰子出现i点，第二颗骰子出现j点”，i，j＝1，2，…6.显然这36个基本事件组成等可能的样本空间，其中A包含的基本事件个数为n＝18，故.若把一次试验所有可能的取值结果分为：（奇，偶），（奇，奇），（偶，奇），（偶，偶），则它们也组成等可能的样本空间.基本事件总数n＝4，A包含的基本事件个数为k＝2，故.若把一次试验的所有可能结果取为：｛点数和等于奇数｝，｛点数和等于偶数｝，也组成等可能的样本空间.基本事件个数为n＝2，所含基本事件的数目为1，故得到.不同的思维方式，得到同样的结果，能够帮助学生轻松地理解整个试验中的样本空间.

3 数学模型的思想方法

所谓数学模型方法，就是把对现实世界的特定对象，为了特定目的，做出一些重要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构，用它来解释特定现象的现实性态.即对所考察的实际问题化为数学问题，构造相应的数学模型，通过对模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法.

在概率论与数理统计中，这种数学模型处处可见：几何概型、古典概型、条件概型、二项概型、连续型随机变量、离散型随机变量、方差和期望等等.只有反映特定具体实体内在规律性的数学结构，才称为数学模型.例如概率问题中的摸球问题、彩票问题、掷分币问题、次品问题、分房问题、蒲丰投针问题等.

例4 王强和张明玩跳棋，他们用“石头、剪刀、布”的方法决定谁先跳.王强赢的可能性是多少？

解建立数学模型：设事件A表示“‘石头、剪刀、布’的游戏中王强赢”；

事件B表示“王强输”；

事件C表示“王强与张明和”；

A1表示“王强第一次出手势就赢”；

C1A2表示“王强第一次出手势和，第二次出手势赢”；

C1C2A3表示“王强第一、二次出手势和，第三次出手势赢”；

……

C1C2C3…Cn-1An表示王强“前n-1次出手势和，第n次出手势赢”

……

这里事件Ai，Ci是相互独立［3，4］的（i＝1，2，3，…n，…），下面求在 “石头，剪刀，布”的游戏中王强赢的概率

所以，王强第一次出手势赢的概率

王强第一次和，第二次出手势赢的概率

王强第一次、第二次和，第三次出手势赢的概率

王强第一次、第二次、第三次和，第四次出手势赢的概率

王强前n-1次和，第n次出手势赢的概率；

……

王强赢的概率就是这次游戏中所有赢的概率之和

4 公理化思想方法

公理化思想，就是从尽可能少的无定义的原始概念和一组不证自明的命题（基本公理）出发，利用逻辑推理法则，建立数学的演绎系统.这个系统的出发点就是一组基本概念和公理.因此，如何引进基本概念和公理就是运用公理化方法的关键.

在概率统计中的一个最基本概念就是概率.最初，人们就是通过对随机现象的观察或实验，得到众多数据后认识到这些数据在数学上表现出某种等可能性，从而给出了形式化的古典概率的定义及一些概率定理.此后许多数学家试图以某些完全不同的定义来代替这一古典的定义，但都应用范围有限.19世纪末以来，数学的各个分支广泛流行起一股公理化潮流，主张把最基本的假设公理化，其他结论由它们经过演绎导出.由此，柯尔莫哥洛夫学派将事件的概率定义为只与该事件有关的一个数，把由观察得到的频率特性理想化陈述为三个公理：非负性、规范性、可列可加性.

设Ω是一给定的样本空间，R是由Ω中的一个子集组成的事件域，定义在R上的一个实值函数P（A）（A∈R），如果满足下列条件，就称它是R上的一个概率测度，简称概率，值P（A）称为事件A的概率.

（1）非负性：A∈R，有P（A）≥0；

（2）规范性：P（Ω）＝1，若A∈R，有¯A∈R；

（3）可列可加性：若Ai∈R，i＝1，2，…，且AiAj＝φ（i≠j），即两两互不相容，则