浅谈圆锥曲线概念的教学
2013-04-29周红芳
周红芳
摘 要：本文以圆锥曲线的概念教学为例，从提供丰富的感性材料，帮助学生形成概念；引导学生揭示事物的本质，帮助学生掌握概念的内涵；充分调动学生已有知识，帮助学生同化概念；强调概念间的联系和区别，帮助学生把握概念的外延；充分利用例题和习题，帮助学生巩固和深化概念五个方面探讨了有效概念教学的注意事项，以期提高教学质量。
关键词：圆锥曲线；概念教学；教学感悟
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）05-079-2
数学概念是数学知识的重要组成部分，是学习数学基础理论、理解数学基本原理、掌握数学规律、培养学生能力的先决条件，也是发展学生智力的重要因素。数学概念的教学向来为中学数学教师所重视，数学概念的教学方法很多，其宗旨都是让学生理解、掌握和运用概念，下面我就中学数学圆锥曲线的概念教学谈些个人的认知。
一、提供丰富的感性材料，帮助学生形成概念
概念的形成是要有丰富的感性材料的，而学生学习数学概念的一个心理障碍就是觉得抽象。鉴于学生缺乏丰富的感性材料，教师的责任就是要为学生提供丰富的感性材料并引导学生去分析思考。感性材料可以是直接进行实验，也可以是引用课本知识，还可以借助图表模型、多媒体等现代化教学手段等，不一定要补充大量的内容，只需要对教材做恰当的处理就行。学生的知识结构，归根到底是由学生通过自己的思维逐步建立起来的，但教师完全可以发挥教学中的主导作用，引导学生进行思维联系，帮助学生形成有序的知识结构，提高知识结构的层次，培养学生比较、分析、综合等能力。
例如，学习圆锥曲线的定义时，教师可以借助圆锥面这一模型，让学生去自主探究，通过不同的截法得到三种不同的圆锥曲线。导入：若用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆。当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：（1）用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？（2）若设圆锥面的母线与轴所成的角为θ，截面与轴所成的角为α.通过观察去发现，当θ<α<π2，0≤α<θ，α=θ时，我们可以得到哪三种不同形状的曲线？（3）这些曲线具有哪些几何特征？在以上探究过程中，注重了知识的发生与形成过程，既能使学生经历概念的形成过程，更能使其从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。这一过程是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学能力和数学素养。
美国著名教育家布卢姆在他的名著《教育目标分类学》中写道：“把具体的知识与一般的抽象知识联系起来学，在这种联系中可以最有效地记忆或保持具体的知识。按照这种方式进行学习、记忆的人，就能比较容易地掌握概念所属的那些具体知识，另一方面，概括的或抽象的知识是比较难学习的，除非把它们与恰当的具体现象联系起来，反过来说，如果把概念与它所包括的各种现象割裂开来，那么这种概念就既难学又难记。”布卢姆在这里不仅提出了学习概念的最佳方法，也指出了保持记忆的最佳方法。把抽象的概念以鲜明的实验事实展现给学生，既符合数学学科的特点，也有利于学生更深刻地理解概念。
二、引导学生揭示事物的本质，帮助学生掌握概念的内涵
所谓概念的内涵，就是概念所反映的客观事物的本质。学生在数学学习中初步形成概念时，往往是朦朦胧胧的。有些概念教材上虽然给出了定义，但学生对定义的理解往往是片面的，即使把定义背得滚瓜烂熟，也并不能说明学生已经掌握了概念，要使学生真正掌握概念，就必须揭示概念所反映的客观事物的本质。
例如，如在学习椭圆的定义时，学生可以用一段绳子画椭圆，教师可以利用多媒体呈现满足椭圆定义的动点的运动轨迹，并鼓励学生在已有知识的基础上去探求椭圆的定义。学生对未知领域的探索有天然的好奇心，思维的积极性被激发，纷纷根据前面的知识做出如下猜测：到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆。然后教师在多媒体演示中从两个方面加以强调。首先将运动的点移动到椭圆平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”。这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数<|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”。这样就由学生在观察和猜想中完整的得到了椭圆的定义：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。整个过程中，学生的思维结果一一被肯定，获得一种小小的成就感，从而更激起了主动探索的欲望。
众所周知，教科书上对概念的叙述都是很精辟的，为了克服学生对基本概念死记硬背、不能灵活运用的弱点，教师在讲概念时，着重分析概念中的关键字、词，充分揭示概念的本质特征，使学生确切理解所学的概念。经常这样训练学生，能提高学生对概念的准确理解，养成善于推敲、分析的习惯。
三、充分调动学生已有知识，帮助学生同化概念
当新概念形成的时候，人的大脑中要进行把新概念同已有知识相比较、相联系的过程，为新概念在大脑里已有的知识结构中寻找到合适位置时，新概念就被联结拼合上去，成为大脑知识结构的一部分，被消化吸收，这就是同化。中学生大脑里的知识结构比较简单，同化新概念的能力不强，这就要求教师努力调动学生已有的知识，调整学生头脑里的认知结构，帮助学生加强新概念与旧知识之间的联系，同化新概念。教学中经常采用比喻、类比等方法，就是调动学生已有知识的有效方法。
例如，在学习双曲线定义时，让学生联系和类比椭圆的定义，会起到比较好的引导和启发的作用。平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。那么平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是什么？让学生把事先准备好的一条拉链，打开一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的一支。定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。师生共同探讨以下问题：1.若常数要等于|F1F2|，则图形是什么？2.若常数要大于|F1F2|，能画出图形吗？3.定点F1，F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？4.|MF1|与|MF2|哪个大？（当M在双曲线右支上时，|MF1|>|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|<|MF2|）5.点M与定点F1，F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？通过探究，培养学生研究问题和解决问题的能力。
通过椭圆与双曲线的联系和类比，能调动学生已有的知识，使学生用熟悉的知识去联系、类比不熟悉的知识，从已有知识中获得对新知识的启示，达到同化新知识的目的，同时也培养了学生的思维能力。事实上，新旧知识的联结点总是有的，关键在于教师能否找到它，并利用它。充分调动学生的已有知识是教师的职责，也是一门艺术。
四、强调概念间的联系和区别，帮助学生把握概念的外延
所谓概念的外延，就是指概念的适用对象、条件、范围等。数学基本概念往往是成对的或成群的。它们之间有着千丝万缕的联系，弄清概念之间的联系和区别，既有助于掌握概念的内涵，更有助于把握概念的外延，澄清对概念的模糊认识，还有助于使概念联成体系，扩展学生头脑中的知识结构。
例如，学习圆锥曲线的第二定义时，先让学生把一根直尺固定在图板上直线l位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的顶点A，取绳长等于点A到直角边顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线。
给出定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线。当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？通过师生共同探讨，得到圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于常数e的点的轨迹。当0
第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系。至此，通过层次教学，揭示了圆锥曲线统一定义的本质，达到全面而深刻地理解概念的目的。概念是中学数学教学的难点之一，如果忽视概念的产生过程，过早地进行功利性运用，那么概念就会成为机械的表述，而学生薄弱的抽象思维能力又加剧了这一现象。所以教师在讲解概念时，应该循序渐进、由浅入深、由表及里，使学生对概念的理解既全面又深刻。
现代教育理论认为，大脑中的知识结构在很大程度上决定人的认识结构，决定着人的认识能力。知识的结构层次愈高，人的认识能力愈强。学生的知识结构，归根到底是由学生通过自己的思维逐步建立起来的，但教师完全可以发挥教学中的主导作用，引导学生进行思维联系，帮助学生形成有序的知识结构，提高知识结构的层次，培养学生比较、分析、综合等能力。
五、充分利用例题和习题，帮助学生巩固和深化概念
对中学生来说，许多概念的建立是不可能一下子完成的，学生对它的理解和掌握也需要有一个过程。因此，已经形成的概念还需要不断地巩固和深化，而充分利用练习和习题，是巩固和深化的好方法，这种方法既灵活，又不多占用课堂教学时间，还能提高学生的思维能力。练习和习题是数学学习过程中必然要有的，这里所讲的充分利用练习和习题，主要是要注意增强学生运用练习和习题巩固概念的自觉性。在每学习一个新概念之后，固然需要有一定量的练习和习题，但更要注意在以后学习的不同阶段，安排适当的练习和习题，运用以后所学到的知识对以前所学的概念进行巩固和深化。
例题.如果椭圆x225+y216=1上一点P到左焦点的距离等于7，那么P点到右准线的距离是
简析：由椭圆的第一定义可知P点到右焦点的距离等于3，设P点到右准线的距离是d，再由椭圆的第二定义可知3d=e，所以d=5。此题充分利用双曲线第一定义和第二定义将问题迎刃而解。
总之，一个概念往往要从多个方面去认识它，要提高数学概念的教学质量，必须在教学过程中，根据学生学习数学概念的特点，不断改进教学方法，总结和探讨数学概念的教学规律，使数学概念的教学质量得到进一步提高。练习或习题能提供从多方面去认识概念的机会，能引起对概念的深入思考，通过分析可使学生对概念的认识达到较高的层次。
