巧用“数形结合”，提升学生思维力
2013-04-29罗锐
罗锐
《数学课程标准》（2011年版）将数学的定义从原来的“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”改为“数学是研究数量关系和空间形式的科学”。
这样的定义从本质上凸显了数学的学科特征，数与形是数学研究的两个重要方面。在数学学习上代数知识的学习可借助于图形的性质，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观的启示，从而帮助学生理解。而将图形问题转化为代数问题，借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，使几何问题代数化，就可以获得精确的结论，促进对形的直观认识，便于学生在量化过程中形成空间观念。
这样的定义，也符合小学生的思维特点和学习规律，小学生的思维从具体形象思维为主逐步向抽象逻辑思维过渡，这时的逻辑思维是初步的，很大程度上仍具有具体形象性。所以小学生在学习数学知识时更多的是形象思维，这就需要科学地渗透数形结合的思想。
关于数形结合的概念，有不同的理解。在众多理解中笔者比较认同这样一种说法——数形结合就是在问题解决中，将数量关系的精确刻画和空间形式的形象直观密切结合，调用代数和几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达到解题的目的。
数学家华罗庚曾对数形结合有过形象的说法：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”他还指出“数缺形时少直观、形少数时难入微”。
数形结合思想应包含两点内容。第一，以形助数，在“数”上构“形”。代数知识的学习可以借助形使抽象的数更直观，从而利于学生理解。第二，由数思形，在“形”中觅“数”。以数想形，解决图形问题，通过寻找形与数之间的关系，使问题得到解决。也就是说要将数学知识进行数与形的转换，让数中有形，形中有数，数形结合中获得问题解决。数形结合作为一种数学思想方法和解决问题的策略，可以让数学知识的抽象美与学生思维的直观性有机地结合起来，有助于学生理解数学实质，提升学生数学学习力和思维力。
下面通过一些实例，谈谈小学数学教学中渗透数形结合的方法。
一、数形结合能促进学生数学概念的形成
1.代数概念要以形的直观来促进内化
数学概念是抽象的，帮助学生建立概念必然要有许多感性材料作支撑，形成概念表象。教学中常采用归纳、分类、比较的数学思想方法，帮助学生建立数学概念，也可采用数形结合的思想展开数学概念的教学，数的概念要以形的直观来促进内化，形的概念要用数的真实来促进感悟。在教学中运用图形提供一定的数学问题情境，通过对图形中的情景分析，抽象出数学概念的内涵和外延，帮助学生理解数学概念。
【例1】在认识多位数时，学生对于数位概念的形成有一定的困难。为了突破教学上的难点，我们可以借助形的直观来促进学生的认识。
（1） （2） （3）
这三组图形在直观性上也是逐步抽象的，先让学生从数实物的活动中能够说出多位数450，接着在计数器上认识，然后通过前面的形的概括，让学生用方框定数位的方法写出450，最后抽象出450这个数。
2.几何概念要以数的真实来促进感悟
一些几何概念的形成，仅仅靠学生直观观察是不够的，这样很难形成科学的认识，因此，形的概念往往要通过数的量化来完成。比如，认识面积单位、体积单位及圆的半径（直径、周长）等几何概念时，我们都需要充分利用数和数的计算结果来表达，通过数的大小帮助学生建立这些概念的空间观念，让几何概念更清晰。
二、数形结合能促进学生对数学知识内在规律的把握
数学学习内容的一个重要方面就是关于算理、法则、规律的认识和运用，代数知识和几何知识同样包含许多规律性的知识。这些知识的学习和把握往往比较抽象和深奥，数形结合可在一定程度上减缓学生认识上的难度。
1.形让数的规律更直观
“形”有利于促进学生理解计算的算理，算法便于操作，算理深奥而抽象。因此，我们在教学中通过物化的操作使抽象的算理形象、具体地呈现在学生眼前，使学生形成计算过程的表象，帮助理解算理。通常由现实问题引入，促使学生的生活经验能起到帮助理解内部意义的作用。
【例2】（口算除法）口算“42÷3”。
出示这样的42支铅笔，让学生把它平均分给3位同学。课堂上学生是这样分的：先一人分一捆，把剩下的一捆拆开和单独的2支合并，再每人分4支。在学生动手操作的基础上，引导学生结合分铅笔的过程，说说先分多少支？（30）再分多少支？（12）也就是说，口算时先把42分成30和12，用30和12分别除以3，把得到的商加起来就是结果。从实际情境和直观图形中，学生很容易理解口算除法“分—除—合”的计算方法。
除法计算的过程、方法与等分铅笔的操作相对照，直觉感知，有效地帮助了学生知其然，同时也使学生有了关于除法计算的数感。这样，数学严密的逻辑思维得到锻炼，算理得到澄清。
2.数使形的规律更细致
“形”具有形象直观的优势，但有些隐含在内的几何规律却不易被发现。只有把它转化成“数”的形态，归结为较容易处理的数量关系式来研究，通过分析、判断、计算，才能凸显出来。
【例3】圆柱体积计算公式的推导。
我们在深入研究课本提供的学习素材，把握教材编排意图，引导学生推导出“圆柱体积=底面积×高”这一基本方法后，还及时地引导学生从另一个角度观察推导直观图，让学生思考：这个图中，我们还可以把哪部分看做底面、哪部分看做高？在学生独立思考的基础，上出示下面的对比图：
在观察分析的基础上引导学生得出“圆柱的体积=侧面积××半径”，促进学生对数学规律的认识，培养学生的创新思维，同时也为学生解决问题提供了更多的方法和策略。
三、数形结合能提高学生问题解决的策略水平
1.形可形象地展示代数问题，便于学生提取思路
抽象的数量关系通过看得清摸得着的图表示出来，化隐为显，化难为易，帮助学生理解、掌握，其实质就是由形解数。在解题过程中，学生也可以自己画图，用形表达数量关系，进入各自的认识通道，展示有创造性的思维过程。
【例4】六（1）班同学参加数学知识竞赛，平均分为94分，其中男生的平均分为92分，女生的平均分为97分，求参加比赛的男生和女生人数比。
[92][97] [94][A][B][人数][男 女][分数]
用学生易于观察的条形统计图帮助学生分析数量关系：用 表示男生， 表示女生；图形的高度表示分数，宽度表示人数，结合题意，全组平均分应该在它们之间，用虚线标出来。根据平均数移多补少的规律可以知道：图中女生多出的分数A移补到男生少了的分数B，由此可以得到一个等量关系式：男生人数×（97-94）=女生人数×（94-92），再根据比例的基础性质，学生就很容易看出解决这个问题的关键。
2.形不仅能促进学生解决问题，更有利于提升学生思维的灵活性
【例5】a2-b2=（a+b）（a-b）的推导。掌握这个计算规律对提高学生计算圆环面积有一定的帮助，我们可以结合图形来推导。
[a][b] [b][a][a-b][a-b]
从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分的面积就是a2-b2。（见上左图）这部分的面积我们还可以像上右图这样观察，这样剩下的面积还可表示为：a×（a-b）+b×（a-b），根据乘法分配律可以计算出：a×（a-b）+b×（a-b）=（a+b）（a-b）。同一部分的面积用两个不同的式子计算，它们表示的结果是一样的，所以得出：a2-b2=（a+b）（a-b）。
【例6】生产一批零件，计划每天生产50个，实际每天生产60个，这样比计划提前2天完成。这批零件有多少个？
解决这道题有多种方法，我们可以利用数形结合的方法把数量关系转化成长方形的面积来计算，让数量关系更直观。
[B] [A][实际每
天60个][计划天数][提前2天][计划每
天50个]
用灰色长方形的长表示计划天数，宽表示计划每天50个，这个长方形的面积就表示零件的总个数；用粗线条的长方形长表示计划天数，宽表示计划每天60个。根据题意，提前2天的意思就是原来2天生产的零件图中A部分，和图中B部分的面积是相等的，所以实际生产的天数就可以求出来：50×2÷（60-50）=10（天），60×10=600（个）。
从上面的几个例子中我们可以发现，“形”有时可能超越了几何图形的范畴，应该还包括数学的有形教具、生活中有形的经验、一些已有的数学模型等。在研究“数”的问题时，可以把数的形态转化成有对应关系的形的状态，利用“形”的直观、形象的特点把抽象的数的概念、数量关系等通过图形的特征或动态变化充分地表现出来，将抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，帮助学生理解、掌握。“形”为“数”提供了直观思维的方式，提高了小学生的数学思维能力。
3.数能让几何问题具体化，便于学生寻找表象后的实质
学生在解决几何问题时往往习惯于直观观察图形，试图每题都能通过相关数据，用公式解决，其实有时一些图形题要充分利用数、式的形式来表达图的实质。
图形知识的学习，不能仅仅停留在空间观念的形成和利用公式的计算上，而要在解决图形问题是培养学生问题意识和发展学生的思维能力上。如在学习《圆的面积》时，往往只停留在推导出面积计算公式就行了，如果能充分利用数和式来表达推导过程中图形所蕴含的特征，将有利于发展学生的发散性思维。教学时可设计如下题组式的问题来引导学生思考。
（1）如果拼成的长方形的宽是6厘米，这个圆的面积是多少？
（2）如果长方形的长是12.56厘米，这个圆的面积是多少？
（3）如果长方形的周长比圆的周长多20厘米，这个圆的面积是多少？
（4）拼成的长方形长宽之比是多少？
（5）如果长方形的周长是41.4厘米，这个圆的面积是多少？
（6）如果长方形的长比宽多2.14厘米，这个圆的面积是多少？
通过解决这一组问题，不仅能促进他们对圆面积公式的理解，还能在解决问题的过程中通过对图形特征的观察，深化对圆面积公式的理解，促进空间观念的形成。?
