函数单调性与 f′（x）=0的关系

杨作义

已知函数f（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）x-1 （k∈R）在区间（0，3）上是单调函数，求k的取值范围.

f′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）.因为f（x）在区间（0，3）上单调递增或单调递减，所以 f′（x）>0或 f′（x）<0在（0，3）上应恒成立.

当 f′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）>0在（0，3）上恒成立时，整理可得k>-=-·（2x+1）+-. 令t=2x+1，由x∈（0，3）可得t∈（1，7）.记h（t）=t+，则h（t）=t+≥2·=6，当且仅当t=3即x=1时等号成立，所以h（t）min=6即（2x+1）+min=6.所以-·（2x+1）+-max=-·6-=-2，故k>-2.

当f′（x）<0在（0，3）上恒成立时，应有 f′（0）≤0， f′（3）≤0即k+5≤0，7k+26≤0；解得k≤-5.

综上可得，k的取值范围是（-∞，-5]∪（-2，+∞）.

当k=-2时， f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，当且仅当x=1时，f′（x）=0；当x∈（0，1）或x∈（1，3）时，f′（x）>0.故当k=-2时，f（x）在（0，3）上单调递增，也符合题意.

f′（x）>0或f′（x）<0是f（x）在（a，b）上单调递增或单调递减的充分不必要条件，而非充要条件.当函数f（x）在（a，b）上单调递增或者单调递减时，y=f（x）在个别点处的导数值还有可能为0.比如函数f（x）=x3在R上单调递增，导函数f′（x）=3x2≥0，当且仅当x=0时为0.但如果函数f（x）在某一定义区间上的导数值恒为0，则f（x）在该区间上为常函数，此时f（x）不可能在整个定义域上单调递增或单调递减.因此，在已知函数具有单调性时，应允许“函数上个别不连续的点的导数值为0”的情况存在，因为单个点的导数值为0并不影响函数的单调性.

综上可知，f（x）在（a，b）上单调递增（或单调递减）的充要条件是f′（x）≥0（或f′（x）≤0），且f′（x）在（a，b）的任意一个子区间上的值不恒为0.对于例题这类已知函数f（x）具有单调性的问题，应根据f′（x）≥0或f′（x）≤0求解.

f′（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5）.因为f（x）在区间（0，3）上单调递增或单调递减，所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，3）上恒成立.

当f′（x）≥0在（0，3）上恒成立时，由错解的解法，可得k≥-2.

当f′（x）≤0在（0，3）上恒成立时，由错解的解法，可得k≤-5.

综上可得，k的取值范围是k∈（-∞，-5]∪[-2，+∞）.

用导数研究函数的单调性时，同学们还需注意以下三个问题：

（1） 不要忽视函数的定义域.

判断定义域是求解函数问题的前提，一切讨论皆应在函数的定义域内进行.如求函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a>-1）的单调区间，则f（x）的单调区间必在其定义域（-1，+∞）内.

（2） 不要盲目合并函数的单调区间.

只有当函数f（x）在（a，b）与（b，c）上皆单调递增，且函数f（x）在b点连续时，才可以合并区间（a，b）与（b，c），称f（x）在（a，c）上单调递增.同理，减区间的合并也是如此.

（3） 不要盲目使用并集符号“∪”.

如果在一个函数中，单调性相同的区间不止一个，如f（x）在（a，b），（c，d）上分别单调递减，则区间（a，b）和（c，d）之间不能用“∪”连接，而应用“，”或“和”连接.如反比例函数f（x）=有两个递减区间（-∞，0）和（0，+∞），若表示为“（-∞，0）∪（0，+∞）”，则意味着f（x）在整个定义域上单调递减，即f（x）在（0，+∞）上的值始终小于f（x）在（-∞，0）上的值，这是不符合实际的.

已知函数f（x）=-a+x+a （a∈R+）在区间（0，1]上不单调，求a的取值范围.

解法一： f′（x）=-a+1.

若f（x）在（0，1]上单调递增，则f′（x）=-a+1≥0在区间（0，1]上恒成立，即a≤=在区间（0，1]上恒成立.因为在区间（0，1]上单调递减，所以当x=1时，有最小值，所以a≤.又a∈R+，所以a∈（0，].

若f（x）在（0，1]上单调递减，则f′（x）=-a+1≤0在区间（0，1]上恒成立，即a≥=在区间（0，1]上恒成立.因为在区间（0，1]上单调递减，所以当x=1时，有最小值，∈[，+∞）.因为a的值不可能大于等于+∞，所以a∈.

综上可得，若函数f（x）在（0，1]上为单调函数，则a的取值范围是（0，].因为a∈R+，故当函数f（x）在（0，1]上不单调时，a的取值范围是（，+∞）.

解法二： 函数f（x）=-a+x+a （a∈R+）在区间（0，1]上不单调，意味着f′（x）=-a·+1在区间（0，1）上至少有一个实数解，且f′（x）在该解左右两侧的值正负相反，这等价于f′（x）=-a+1在区间（0，1）上有实数解且无重根.整理方程-a+1=0可得（a2-1）x2-1=0，由判别式Δ=4（a2-1）>0解得a<-1或a>1.因为a∈R+，所以a>1.设h（x）=（a2-1）x2-1，由a>1可得a2-1>0，所以h（x）的图象开口向上.h（0）=-1<0，h（1）=a2-2.要使h（x）在（0，1）上有实数解且无重根，应满足h（1）=a2-2>0.结合a∈R+解得a>.a>满足a>1，故a的取值范围是（，+∞）.