一元一次方程应用题教学的思考

张锦华

七年级数学的一次月测，由于学生对一道应用题用了不同做法，引起改卷老师对评分的疑惑，因此我们备课组的老师也有了多种不同的看法，结合在以往教学中的一些问题，使我对一元一次方程应用题的教学及评价有了一些新的思考。

题目是这样的：文华中学某老师准备在期末考试中对学生进行奖励，到文具店买了8本练习簿和12支钢笔，共花了216元，现在知道每支钢笔比每本练习簿贵3元。求每支钢笔卖多少元？学生一般的解法是设未知数列方程来求解，但有几个学生的做法是：“解：12×3=36元，216-36=180元，180÷（8+12）=180÷20=9元，9+3=12元，答：每支钢笔12元。”此题满分7分，这样的做法该给多少分呢？

一、如何评价非方程（算术）的解法

对以上学生的解法，甲老师的看法是，现在是学一元一次方程，此题应该用方程方法来解，直接列式，不符合出题者的本意，但最终答案正确，给1分算了。乙老师认为，看似有道理，但不符合现在学、用方程的要求，以后如果要求列方程解应用题的话，这样做会没分的，所以要给学生警示，给4分行了。丙老师认为，小学时就是这样解的，这样的解法是有道理的，况且，要鼓励解法的多样性，应该给满分7分。丁老师认为，学习用方程解应用题，而学生竟然不按老师要求来做，这样的解法直接给0分得了。

初中数学课程标准对方程内容确实提出了：“能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。”方程这一数学模型，在分析解决问题中确实是一个很好的工具，所以初中数学由简单的一元一次方程，逐步加深到三元一次方程、一元二次方程，高中阶段还将学习更加复杂的方程。这是否意味着考试中就一定要用方程来解决应用题呢？

不同的学生，其认知方式以及思维水平是不尽相同的。这就要求我们在教学中允许不同的学生对同一问题有不同的思维与方法。学生通过交流、学习别人的思维活动成果，思维会进一步得到提升。

所以，我认为学生的做法是可行的，小学“鸡兔同笼”问题就是这样分析解决的。而且，现在的升中考试题是不会限定学生用何种方法来解题的（比如要求列方程解应用题）。只要步骤清析，怎会再扣分呢？如果这样就否定了学生的做法，那岂不是扼制了学生的思维吗？当然，在教学或评卷中，教师是不必再额外介绍这种做法的。

二、列方程解应用题的方法与算术的方法的比较

教科书有这样一道题：“一个两位数，十位数字是个位数学的两倍，将两个数字对调后得到的两位数比原来的数小36，求这个两位数”。通常的解法是“设个位数字为x，十位数字为2x，则原两位数表示为10×2x+x……” 列方程来解决，但比较抽象，要求学生熟练掌握字母表示数的方法以及解方程的方法。如果这样解：“十位数是个位数字的两倍，这样的两位数只有21、42、63、84，两个数字对调后分别为12、24、36、48，则它们的差分别为9、18、27、36，所以这个两位数为84。”则学生容易明白且不会出错，特别是对客观题，何乐而不为呢？难道还要否定学生的这种做法吗？当然，有老师提出，升中统一改卷时，往往会因为改卷速度快，参考答案没有这样的答案而给打成0分或1分。我认为这不是学生、方法的过错，而是改卷时的疏漏，要改进的是改卷工作的机制。

开放的世界，需要开放的视野，对于不同事物的存在，我们需要有一种求同存异的包容，世界才会更精彩。数学的学习，我们同样不能用所谓的“严谨、规范、统一”来扼杀学生的发展水平的差异性、理解与表达的多样性，不能要求学生死死地用一种方式来解决与表达问题。只要学生的答案正确，过程有其合理性，我们都应允许不同的答题方式，虽然这会给教师增加一定的难度！

教科书关于销售的一道题：“某商场的电视机原价为2500元，现以8折销售，如果想使降价前后的销售额都为10万元，那么销售量应增加多少？”学生的普遍做法是直接根据“单价×数量=总价”得到“销售量=销售额÷单价”，用“100000÷2500=40台（原销售量），100000÷（2500×80%）=50台（打折后销售量），50-40=10台（增加的数量）”的方法来解决题（易于理解与表达）。面对这样的解答，难道我们还要用“设销售量应增加x台，则100000×（1-80%）=2500×80%·x”的方法来讲解吗？

教科书还有一道图形的应用题：“墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图虚线所示。小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图实线所示。小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？

通常，老师及学生会利用周长不变的性质列方程来求解。但在教学中，我发现有些学生，会直接通过看图就知道长是10+6=16，而宽就是原来的上底10。也许编者的意图是想通过简单的几何图形，让学生来体会方程与图形的联系。但如果学生已经通过观察图形的特点而领悟了此题，我们就不必强求该部分学生一定要用列方程来求解了，更不能否定学生的做法。

三、金融问题与实际要紧密联系

在教“教育储蓄”一节时，想通过组织学生到银行了解有关利息、教育储蓄等知识，来达到对知识的掌握，是不现实的。直接根据书中的信息来教学是大多数教师的做法。书中这样讲到：“我国从1999年11月1日起开始对储蓄存款利息征收个人所得税，但教育储蓄和购买国库券暂不征收利息税。”

从这里可以明显看出普通的存款和债券是要征收利息税的。所以，在教学中，原先老师就这么教：“利息=本金×利率×期数×（1-20%），教育储蓄的利息=本金×利率×期数”。即使这样教，完成教科书中的应用题也是没有异议的，因为都是教育储蓄和国库券及贷款类的题目。但在同步伴读及其它练习中，出现了普通存款类的题目，而题目中又没有指明扣与不扣利息税。此时，学生和原先老师就按要扣利息税的方式来解题。直到有个老师说：“题目中没有说扣利息税的就不用扣，有说要扣利息税的才要扣。”引起讨论后，才有老师说现在已经不扣利息税了。之后我们找电话给银行查询，确切得知利息税已在2008年10月9日取消了！

数学是生活中的数学，它来源于生活，数学学习内容应当是现实的、有意义的，学了之后是能用来解决现实问题的。如果数学脱离了实际生活，那学了还有什么意思呢？针对以上的问题，我认为：一方面，教师要深入生活，了解时政与财经知识，了解相关经济政策的背景与目的，以增长学生的见识，提高学生的兴趣。比如为什么以前没收利息税，而1999年开始要收利息税？2008年为什么又要停止征收利息税？同时，教科书要与时俱进，适时修改与实际与不符的相关内容。另一方面，原来一些过时的与“扣除利息税”相关的题目，不能再拿来考查学生。

四、关于应用题方程的解的合理性

应用题中所列方程的解是有实际意义的，所以在解得方程的未知数的值后，要对它的合理性作判断与回答。

1. 整数与分数的取舍

教科书中例题：“某文艺团体为‘希望工程组织了一场义演，成人票8元/张，学生票5元/张，共售出1000张票，筹得票款可能是6930元吗？为什么？”此题解：“设售出学生票x张，则8（1000-x）+5x=6930。解得x=356■”，此时可明显可知张数不能为分数，所以x值不符合题意，从而断定不可能筹得6930元。同样，在“日历中的方程” 中亦有这样的例子（日期不能为分数，只能是1-31之间的整数）。

2. 负值就无意义吗

教科书的一道题：“儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍？为什么？”解为：“设x年后父亲年龄是儿子年龄的4倍，则40+x=4（13+x），解得x=-4”。此处“-4”不是没意义，而是指4年前。

关于体积变形的一道题：“如图是两个圆柱体的容器，它们的直径分别为4cm和8cm，高分别为39cm和10cm。我们先在第二个容器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中。问：倒完以后，第一个容器中的水面离瓶口有多少厘米？小明是这样做的：设倒完以后，第一个容器中的水面离瓶口有x厘米。列方程为π·22·（39-x）=π·42·10，解得x=-1。此处“-1”也不是没意义，而是指第一个容器中的水溢出（瓶不够高），如果第一个容器的高度增加1cm，则恰好能盛下。

3. 关于四舍五入

书中一道题：“截至2000年11月1日0时，全国每10万人中具有大学文化程度的人为3611人，比1990年7月1日0时增长了153.9%。1990年6月底每10万人中约有多少人具有大学文化程度？”此题虽然求到的值（人数）是小数，但因为前面的数都是近似数，所以结果为小数时，必须四舍五入为整数。

另一道题：“小颖的父母储蓄一笔钱，想在三年后取出了5000元钱，年利率为2.70%，你能求出本金是多少吗？”解为：“设开始存入x元。根据题意，得：x+x×2.70%×3=5000，x≈4625.3元”回答时，一方面，实际存钱一般为整数，另一方面，确保三年后拿5000元，应该将小数进上去，而不是简单的四舍五入，即“答：开始存入本金4626元”。

应用题的学习应与现实密切联系，解法也应允许多元化，使学生感受到生活中的数学所带来的思想与乐趣。

责任编辑 罗 峰