立体几何问题平面化初探

姚永

摘要：把空间几何问题平面化，由简单问题深入，研究综合问题（实际问题）所存在的一般规律，从

而培养学生的转化问题和归纳的思维能力。

关键词：平面化；转化；能力

高中数学中的立体几何问题，常常需要转化为平面几何问题，有时可以起到化繁为简的

作用。下面，笔者就一个简单问题，谈谈自己的思考。

问题1：如图，在直三棱柱中，，，点D是AB的中点。

（1）求证：CD面ABB1A1；（2）求证AC1面CDB1；

（3）线段AB上是否存在点M，使得面CDB1。

分析：（1）一般地，线面垂直的证明问题都可转化成线线垂直或面面垂直，本题有题设易知，故只需证明即可。

（2）线面平行的问题常常转化为线线平行或面面平行，本

题思路一：考虑到点D为AB的中点，可以考虑连接，交于点F，连DF，只需证明。思路二：可以取的中点，连，问题转化为证明面面即可。

（3）本题属于探索性问题，可以假设存在点M，

由（1）知CD面ABB1A1，故只需AM DB1，从而问题

转化为平面几何问题，简化了问题。

解析：（1）、（2）证明略.

（3）由分析可知，问题转化为在矩形的边AB

上找一点M，使得成立，

设AC=a，则AB=，，要使的，由平几知识可知，故点M与点B重合。

总结1：线面垂直的探索性问题通过转化，成为一道平面几何问题，从而把问题简化。

问题2：在棱长为的正方体中，

求面和面的距离。

分析：考虑到面和面的位置关系为平行，且

同时和直线垂直，从而可以把问题转化为：求夹在两

平行平面间的线段长度问题。

解析：连结，设线段与面和面的交点分别为点E、F，由于E、F都在平面中，如右

图，由平几知识可知，而，所以

。

总结2：立体几何问题平面化，从而把平行平面所夹线段长度问题转化为点与点之间的距离，突出了问题的本质，简化了解题过程。

问题3：将一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成角。则水晶球的球心到支架P的距离是 .

分析：设球心为O，球与PA、PB、PC的交点分别为

A、B、C，则，由

于PA、PB、PC两两成角，所以，PA=PB=PC=AB

=AC=BC，从而，三棱锥P—ABC为正四面体，故点

P在面ABC上的射影为正三角形ABC的中心，又OA=OB=OC，所以球心O在面ABC上的射影也是正三角形ABC的中心，设三角形ABC的中心为点Q，则三点P、Q、O共线。这样就可以把一个实际问题抽象为立体几何问题，即

在空间组合体中，为正三棱锥，为正四面体，且

，如图1，已知OA=5，求OP

考虑到，且点Q为三角形ABC的中心，问题可转化为：

平面中，三角形OPA为直角三角形，角A为直角，AQ为PO

边上的高，其中，AO=5，求OP的长。

通过这样的转化，使得很复杂的实际空间几何问题转化为简

单的数学平面几何问题，使得问题的难度大大的降低，简解如下：

解析：设AP=a，OP=x，由于Q为三角形ABC的中心，所以

，再由等面积法可知

所以，球心到支架点P的距离为

总结3：一道复杂的立体几何问题，通过两次等价转化，变成一道简单的平面几何问题，这就是转化的魅力。

空间几何问题转化为平面几何问题是解决立体几何问题的常用方法，有利于激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的空间想象能力、运算能力和问题的转化能力。如：问题3，经过这样的分析和转化，学生可以很快地掌握这一类问题的解法。当然，还可以把这个问题引申为更一般的情形：

将一个半径为cm的水晶球放在工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成的角为，则水晶球的球心到支架P的距离是 .

（答案为）