析微元法在江苏高考中的考查

摘要： 微元法是解决物理问题的基本思想方法之一，它贯穿于整个高中物理知识体系，也是大学普通物理常用方法。本文通过江苏高考压轴题的分析，意在归纳应用微元法处理电磁感应问题的方法和突破技巧。

关键词： 高考； 压轴题；微元法；方法突破

中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1006-5962（2013）05-0320-02

高考命题以能力测试为主导，考查学生对基础知识、基本技能的掌握程度和运用所学知识分析、解决问题的能力。微元法是解决物理问题的基本思想方法之一，它贯穿于整个高中物理知识体系，也是大学普通物理常用方法。在2006年至2009年江苏高考连续四年的压轴题，如出一辙地重点考查了用微元法解决电磁感应背景下的实际问题，考题灵活多变，能力要求很高。虽然题目有点难，但还是有规律可寻的。本文通过江苏高考题的分析，意在归纳用微元法处理电磁感应问题的方法突破，以期给您有所启发。

1 考题分析

1.1 （06年江苏高考19题第④问）如图1所示，顶角θ=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿导轨MON向右运动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r.导体棒与导轨的接触点为a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触.t=0θ时，导体棒位于顶角O处，若在t0时刻将外力撤去，求导体棒最终在导轨上静止时的坐标x.

【分法突破】t0时刻撤去外力后，导体棒的速度在不断变化，导体棒的有效长度也在不断变化，受力在变化，导体棒做变减速运动，用匀变速运动规律求位移显然不行。只能想到微元法来处理。设任意时刻t导体棒的坐标为x，速度为v，取很短时间Δt，研究过程为t-t+Δt ，在Δt 内导体棒的运动当作匀速运动，导体棒的有效长度、回路中的电动势、电阻、电流等均视为一定，把微元过程中回路变化的梯形面积视为矩形面积，再对这些矩形元求和。

【点评】本题进行了微元转化，由时间微元通过物理量的巧妙结合，转换为面积微元，面积又与三角形边长（位移）有关，从而使得位置坐标可求。

1.2 （07江苏高考18题第③问）如图3所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω的正方形线框MNOP以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。

【分法突破】求线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n，实质上就是求线框在水平方向上运动的最大位移，若求位移，必须知道线框的运动情况.经分析可知，线框竖直方向受到安培力的合力为零而作自由落体运动，水平方向受变化的安培力作变减速运动，所以只能用微元法处理。

【点评】对题中变化的物理量取微元从根本上分为时间微元和空间微元。解法一中依据题目所求物理量直接取位移微元，用动能定理建立微观量与宏观量之间的关系，但必须清楚在△x位移里是匀速运动， ，否则将无法进行下去。解法二中取最为常见的时间微元，但要换元才能得到要求的位移。

3.（08江苏高考18题第③问）如图4所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计.场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2.两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速度为g）

（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域，此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域且a 、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等.求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q.

（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v.

【分法突破】要求a穿出第k个磁场区域时的速率v ，必须搞清楚a棒在磁场中的运动情况。a棒在无磁场区域作加速度a=gsin θ的匀加速运动，在磁场中运动除受重力、支持力外，还要受到变化的安培力作用，而做非匀变速运动，不可能用匀变速运动规律求速度，再结合题中所给时间关系，应该想到时间微元法。

【点评】此题情景较为复杂，不仅有两个棒，多个有无磁场区域交替出现，而且整个装置倾斜放置，考生看到图形，心里发毛而无心作答。其实只要静心有耐心读完题目，按照常规的分析方法和思路进行，并不是高不可攀。依据题中所给速度及时间关系，若脑中有"处理非匀变速运动想到时间微元法"这样的稳定认知结构，此题还是可以一试的。某种程度上本题是在考查考生的心理承受能力。

4.[2009江苏高考15题第②问] 如图5所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、 足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为 ，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直.长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成" "型装置，总质量为m，置于导轨上.导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）.线框的边长为d（d < l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合.将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直.重力加速度为g.求：线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1.

【分法突破】本题要求的是线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1.当然需要知道线框在磁场是怎么运动的。经分析不难发现线框穿过磁场的过程是一个加速度不断变化的运动，要想得出线框第一次穿越所需时间，我们可以运用微元法，将整个穿越过程分为许多元过程，运用每个元过程都适用的牛顿第二定律，选取其中一个元过程，列出表达式，然后累积求和，即可解决问题。

【解答】（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1 ，则接着向下运动2d 棒恰好运动到磁场下边界速度减为零开始返回，此过程由动能定理得。线框在磁场中运动时装置受到的合力F=mgsina-F' ，感应电动势 E=Bdv，感应电流 I'=E/R ，安培力F' =BI'd =，由牛顿第二定律可得，线框在磁场中，t时刻速度为v，在t到t+△t 时间内△v=△t ，则

【点评】此题是高考命题中常用的组合法。命题者巧妙地把电磁感应中两个常见又典型的模型结合

在一起：一个是杆与框架模型，另一个是线框进出匀强磁场模型。变为结构更为复杂的框架结构，而且还是一个多过程问题.但我们只要牢牢抓住受力分析和运动过程分析这一基本分析思路，掌握处理问题的基本方法，相信这类综合问题还是可以迎刃而解的。

总结：由以上四道高考压轴题可以看出，微元法用在物体由于受到变化的安培力作用而使物体在磁场中做非匀变速运动过程，要求其运动学物理量，用匀变速运动规律无能为力，只能取此过程中的一小段时间或位移，列出牛顿第二定律的表达式（或动量定理，极少用动能定理），然后求和即可，注意物理量结合在一起时的换元。

2 方法提炼

2.1 微元法是"化变为不变"、"化曲为直"的重要手段。在电磁感应问题中，常常遇到非匀变速运动过程中求时间、速度、位移、电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，把整体变化过程转化为微小不变过程来处理，从而更深刻的理解物理过程和规律内涵。此法要求考生能把宏观过程和微观过程有机地统一起来。

2.2 利用微元法解决问题，要求考生具备熟练构建微元，合理地运用已有的物理公式建立微观量与宏观量，微观过程与宏观过程的有机联系，同时对取微元后涉及到的物理量变与不变要有辩证的理解，如匀变速直线运动中，在时间微元 内可认为速度是不变的，但位移是变化的，如求非恒定电流的电量时，在时间微元 内可认为电流是不变的，但电量是变化的等等。

2.3 微元法从根本上来说只有时间微元和空间微元两种，只不过在实际问题中常常要进行换"元"，具有一定的灵活性。如（1）时间元与空间元的相互代换；（2）线元与面元、体元的相互转换；（3）线元与角元的相互轉换；（4）孤立元与组合元间的相互代换。在力电磁综合题中经常用到的换元有：v·△t→△x，L·△x→△S， I·△t→△q， R△θ→△L等，使式子向题中所求的结论或结果方向组合，这一点往往是整个题中的难点所在。

3 佳题演练

3.1 如图6所示，两根相距为d足够长的光滑平行金属导轨位于水平的xOy平面内，导轨与x轴平行，左端接有阻值为R的电阻.在x>0的一侧存在竖直向下的磁场，金属棒质量为m，电阻为r，与金属导轨垂直放置，且接触良好.开始时，金属棒位于x=0处，现给金属棒一大小为v0、方向沿x轴正方向的初速度，金属棒沿导轨滑动，金属导轨电阻可忽略不计.问：

（1） 若导轨间的磁场是匀强磁场，磁感应强度为B，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 x1；

（2）若导轨间的磁场是非匀强磁场，磁感应强度B沿x轴正方向增加，且大小满足 ，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 x2.

3.2 如图7所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a（a

作者简介：

卞志荣，男，（1962-2），江苏句容人，工作单位：江苏省天一中学（无锡），职称：正高（江苏省教授级中学高级教师），江苏省物理特级教师。有多年毕业班、竞赛辅导、班主任工作经历，现仍在一线从事高中物理教学工作，主持或参与多个国家、省市级课题研究工作，研究方向主要是高中物理课堂教学、实验教学、校本课程开发研究。现已在正规期刊公开发表论文或文章100余篇，其中核心期刊50多篇。