不等式恒成立问题

李世明

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）05-0135-01

确定不等式恒成立时参数的取值范围，是学生不易解决的难点问题。不等式恒成立问题是高考及各类考试的命题热点，因此也就成为我们数学教学的重点和难点。解答这类问题主要有四种方法：其一，利用一次函数的单调性；其二，利用二次函数的单调性；其三，分离参数，转化为求函数的最值；其四，利用数形结合法。

方法一：利用一次函数的单调性

设一次函数f（x）=ax+b （a≠0），当a > 0时f（x）在R上是增函数；当a<0时f（x）在R上是减函数。所以关于不等式恒成立问题，若能将不等式化为关于主元（或参数）的一次函数，则可用一次函数的单调性求解。

具体情况为：当x∈[m，n]时，

f（x）>0恒成立？圳a>0f（x）min=f（m）>0或a<0f（x）min=f（n）>0；

f（x）<0恒成立？圳a>0f（x）max=f（n）<0或a<0f（x）max=f（m）<0；

或x∈[m，n]时，f（x）>0恒成立？圳f（m）>0f（n）>0；

x∈[m，n]时，f（x）<0恒成立？圳f（m）<0f（n）<0；

例.对于任意的|m|≤2，函数f（x）=mx2-2x+1-m恒为负值，求x的取值范围。

解法一：对任意的|m|≤2，函数f（x）=mx2-2x+1-m恒成立，等价于关于m的一次不等式（x2-1）m-2x+1<0在|m|≤2上恒成立。

设g（m）=（x2-1）m-2x+1，则有

x2-1>0g（2）<0，或x2-1<0g（-2）<0，或x2-1=0g（m）=-2x+1<0，

即x2-1>02（x2-1）-2x+1<0，或x2-1<0-2（x2-1）-2x+1<0，或x2-1=0-2x+1<0。

解得1

∴■

解法二：对任意的|m|≤2，函数f（x）=mx2-2x+1-m<0恒成立，（x2-1）m-2x+1<0在|m|≤2上恒成立。

设g（m）=（x2-1）m-2x+1，则有g（-2）<0g（2）<0，

即-2（x2-1）-2x+1<02（x2-1）-2x+1<0，即2x2+2x-3>02x2-2x+1<0，

解得■

总结：对于此类问题，我们不妨换个角度看问题，换个方面去解释，换个方向去思考，往往会收到意想不到的效果。

方法二：利用二次函数的单调性

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），其图象是开口向上的抛物线，在区间[-■，+∞]上f（x）是增函数，在区间[-∞，-■]上是减函数。所以：f（x）>0在R上恒成立？圳a>0△<0；

f（x）>0在区间[m，n]上恒成立？圳-■>nf（n）>0或-■0或△<0。

例1.设f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，都有f（x）≥a成立，求实数a的取值范围。

解：设g（x）=f（x）-a=x2-2ax+2-a

则问题转化为：当x∈[-1，+∞）时g（x）≥0恒成立，

∴有△≤0或-■≤-1g（-1）≥0，

即4a2-4（2-a）≤0或a≤-11+2a+2-a≥0，

解得-2≤a≤1或-3≤a≤-1。

∴-3≤a≤1即为所求a的取值范围。

例2. 若对于任意x∈（0，1），恒有2x2+（a+1）x-a（a-1）<0，求a的取值范围。

解：令f（x）=2x2+（a+1）x-a（a-1）<0，∵对任意x∈（0，1），恒有f（x）<0，∴有f（0）≤0f（1）≤1，即-a（a-1）≤02+（a+1）-a（a-1）≤0，解得a≤-1或a≥3即为所求。

方法三：分离参数，将不等式恒成立转化为求函数的最值

关于x的不等式f（x，λ）≥0在区间D上恒成立，变形并分离出参数λ得F（λ）≥G（x）或F（λ）≤G（x）在区间D上恒成立，则有关系式F（λ）≥G（x）max，或F（λ）≤G（x）min，从中可求出参数λ的取值范围。

例1.求■+■≤a■（x>0，y>0）恒成立的a的最小值。

解：由■+■≤a■（x>0，y>0）恒成立，得a≥■恒成立。∴只需a≥（■）max。

∵■=■=■

=■≤■

=■=■，

∴（■）max=■.∴a≥■.∴a的最小值是■。

例2.设f（x）=lg■，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2，如果f（x）当x∈（-∞，1]时恒有意义，求a的取值范围。

解：f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2x+3x+…+（n-1）x+nxa>0在x∈（-∞，1]上恒成立，即a>-[（■）x+（■）x+（■）x+…+（■）x]在（-∞，1]上恒成立。

∵函数y=-（■）x（k=1，2，3，…，n-1）在（-∞，1]都是增函数，

g（x）=-[（■）x+（■）x+（■）x+…+（■）x]在（-∞，1]上也是增函数，从而g（x）在x=1时取得最大值为

g（1）=-（■+■+■+…+■）

=-■=-■。

∴只需a>g（x）max=g（1）=-■，

∴a的取值范围是a>-■。

方法四：数形结合法求解不等式恒成立问题

例：如果不等式x2-logmx<0在（0，■）内恒成立，求实数m的取值范围。

解：在同一坐标系内画出函数y=x2和y=logmx的图像，可看出当m>1时原不等式不成立。从而0x2在x∈（0，■）上恒成立，只需当x=■时满足logm■≥■。

解得m≥■. ∴■≤m<1即为实数m的取值范围。