一道中考题的多视角解法

徐强

【关键词】中考题 多视角 解法

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）05B-

0085-02

一道数学题从多视角解答，不仅能让学生掌握多种解题技巧，还可以帮助学生培养全方位观察问题的习惯。“一题多解”能够让学生多角度、多层次地深入理解数学知识，提高数学解题能力，学生的思维也会变得更灵活，解题思路会更开阔，应变能力也随之增强。本文将以一道中考题来展现多视角解法的操作。

一、试题呈现

如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B（-2，0），C（4，0）两点，O为坐标原点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度、再向左平移m（m>0）个单位长度，得到新抛物线。若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长.

二、解法展示

本题（1）（2）问解答略，对于问题（3）的解答可从以下角度来思考。

视角1：图形构造，大见成效。

1.与相似同行。

解法一：在y轴正半轴上取点M，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠OBN=45°

∴∠NBA+∠NAB=45°

又∵∠OMB+∠OAB=∠ACB=45°

∴∠NBA=∠OMB

又∵∠BAN=∠MAB

∴△BAN∽△MAB

∴=

20=2·AM

∴AM=10

根据对称性，当M在y轴负半轴时，AM=2。

综上所述AM=10或2。

解法二：在y轴正半轴对取一点M，过点A作AD∥BM。

∴∠OAD=∠BMO，∴∠BAD=45°

∴△BAD∽△BCA，∴AB2=BD·BC

∴BD=，∴OD=

∵AD∥BM

=

∴MO=6

∴AM=10或2.

2.与直角三角形融合

①用方程思想渗透

解：如图，由A（0，-4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；在y轴正半轴上取一点M，过点M作MH⊥AB，∴∠HBM=∠ACB=45°，假设OM的长度为x，所以BM2=x2+4。

∴HM=HB=，在Rt△HMA中，+（+2）=（x+4）2

∴x=6（负值已舍）.

②用相似联姻

解：同上图，可由△BAO∽△MAH，得=，

∴=

∴BH=2，BM=2，

∴MO=6，

∴AM=10或2

③用函数配合，同上图，

设M（0，a），

∵AB解析式：y=2x-4，

∴HM解析式：y=x+a，

∴交点H（，），

∴HM2=a2+4，

=（）（a+4），

∴a=6

∴AM=10或2.

视角2：图形变换，精彩再现。

变换1，解：把△AOB绕点O逆时针旋转90°，B点落在y轴上，记为点D，过点D作DH⊥AC

∵∠OMB+∠OAB=∠ACB

又∵旋转

∴∠OAB=∠OCD

∴∠DCH=∠OMB

∴tan∠DCH=tan∠OMB

∴=

=

∴MO=6

∴AM=10或2.

注：利用相似也可求出MO的长

变换2，把△AOB沿y轴翻折B点在x轴正半由记为D，过点D作DH⊥AC，证明同上。（解略）

视角3：两角和的正切公式，高屋建瓴解。

tan（∠OMB+∠OAB）=

=

=

∵∠OMB+∠OAB=∠ACB=45°

∴tan（∠OMB+∠OAB）=1

∴==1-

=

∴MO=6

∴AM=10或2.

三、教学启示

1.让学生体会数学思想的“威力”。2011版新课标变化之一是由传统的“双基”变为“四基”，基本思想是新增内容之一，基本思想主要指基本的、重大的数学思想与方法，是能使学生终身受益的那些思想从中可以凸显。就数学学习而言，知识是基础，方法是中介，思想才是本源，有了上位思想的统领，其它两者才能结合并上升为学生的数学智慧。

因此在我们的教学中，需要让学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。在本题的解题过程中，如数形结合思想、方程思想、化归思想、割补思想、数学建模思想等得到全面体现，而这些思想为学生解题能力的提高都有着不可小视的作用。

2.让学生体会图形全等变换的“魅力”。初中阶段图形全等变换有3种，平移、旋转、翻折。通过图形变换实现“分散”变“集中”，“隐蔽”变“明显”体现割补思想等。在我们的教学中若能让学生领会这种解题的实质，并能合理使用，将能有效提高学生的思维品质，进一步拓展学生的空间概念，为后继学习打下扎实的基础。

3.让学生掌握解决问题的“通法”。通法是指解决问题一般的、通用的方法。在教学过程中，教师应该以“授人以鱼不如授之以渔”为导向，引导学生看见某知识点联想某思路，如本题出现45°的角，联想构造直角三角形这一基本图形；出现角的和，联想割补思想等。求线段的长，尝试通过全等三角形、相似、三角函数、函数等知识的灵活使用。让学生明白，思考问题通法优先，让学生掌握通法是解决中考压轴题的基本策略之一。当然，平时借助这些数学思想活动经验，才能真正培养学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力。实现思想教学的目标，由“两能”发展为“四能”。

（责编 韦 力）