例谈一题多解在习题课中的运用

胡静

摘 要：习题课是高中数学常见的一种课型，通过习题教学与练习，使学生巩固新知、培养技能、纠正错误、完善知识体系。本节习题课以一道立体几何题为例，从三个方面探究线面角的求法，通过一题多解，吸引学生学习数学的兴趣，即解决了线面角的求法，又提高了学生的数学思维能力。

关键词：习题课；一题多解；立体几何；线面角

在高中数学的教学过程中，笔者认为要上好习题课，要从有限的例题和习题上下工夫，采取一题多解的形式进行教学。对一道题采用不同的方法、对一类问题的多种解法采用同一道例题，这样不仅节省了时间、减轻了学生的负担、教授了解题技巧，更重要的是通过不同的思路去引导学生讲述各自的解题思路及算法，沟通解与解之间的联系，促进学生思维发展，提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣。

例如：在讲授如何求解线面角的时候，笔者以一道立体几何题为例，从三个方面探究线面角的求法。

例题：四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形。AB=BC=2，CD=SD=1。（1）证明：SD⊥平面SAB；（2）求AB与平面SBC所成的角的正弦值。

在第二问求解线面角的大小时，可从三个角度进行研究：（1）利用定义寻找线面角的位置直接求解；（2）借助点到平面距离间接求解；（3）建立空间直角坐标系，利用法向量求解。

方法一：利用定义寻找线面角的位置直接求解

（1）一般在斜线L上找一点A，过该点作平面的垂线，斜足O与垂足B的连线OB为斜线在平面内的射影，则射影与斜线所成的角即为该斜线与平面所成的角。

解法1：如图，因为CD∥AB，所以CD与平面SBC所成的角即为AB与平面SBC所成的角。取SC中点M，连结BM，DM。

因为DS=DC，BS=

BC，所以SC⊥DM，SC⊥BM，所以SC⊥平面BDM，所以平面BDM⊥平面SBC，作DN⊥BM，垂足为N，则DN⊥平面SBC，连结CN，则∠DCN即为CD与平面SBC所成的角。

因为SD⊥AB，CD∥AB，SD⊥CD，|SC|=■，|BM|=■，cos∠DBM=■，sin∠DBM=■，DN=■·■=■，sin∠DCN=■=■=■

所以AB与平面SBC所成的角的正弦值为■。

（2）过直线L做平面的垂面，直线L与交线的夹角即为线面角。

解法2：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE。作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，作FG⊥BC，垂足为G，连结SG。又FG⊥BC，SF⊥BC，SF∩FG=F，故BC⊥平面SFG，平面SFG⊥平面SBC，

因为FG∥AB，所以FG与平面SBC所成的角α即为AB与平面SBC所成的角。

方法二：借助点到平面距离间接求解

求直线上一点A到平面的距离h，该点与斜足的距离OA，h与OA的比值即为线面角的正弦值，即sinα=■。

解法3：VA-SBC=VS-ABC

VS-ABC=■S△ABC|SF|=■·■|AB||BC||SF|=■·■·2·2·■=■

如图，设A到平面SBC的距离为h，取SC中点M，连结BM，因为SD⊥AB，CD∥AB，SD⊥CD，|SC|=■，

|BM|=■，VA-SBC=■·■·■·■·h=■h，又■h=■，所以h=■·■=■，即A到平面SBC的距离为■。

又因为AB=2，设AB与平面SBC所成的角为α，则sinα=■=■=■，所以AB与平面SBC所成的角的正弦值为■。

方法三：建立空间直角坐标系，利用法向量求解

建立空间直角坐标系，求平面的法向量，直线与法向量所成角的余弦值即为线面角的正弦值。

解法4：如图，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz。D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。

因为平面SDE⊥平面ABCD，CD=1，DF=■，SF=■，所以S（1，■，■）。设平面SBC的法向量■=（x，y，z），■=（1，-■，■），■=（0，2，0），故x-■y+■z=0？圯■=（-■，0，2）2y=0

又■=（-2，0，0），cos■，■=■，故AB与平面SBC所成的角的正弦值为■。

本节习题课通过对一道例题的剖析，把线面角定义、点到平面的距离、建立空间直角坐标系及利用法向量解题等知识有机地联系起来，完善了学生的知识结构，提高了学生的解题能力，真正达到了培养学生发散思维的目的。习题课教学要使学生在探究教师精心编制的习题过程中拓宽学习领域，在教师的帮助下让学生解决一个个具体的问题，使其获得成功的体验，进一步提高分析问题、解决问题的能力，从而增强学好数学的信心。