浅谈构造法在解题中的运用

章显军

摘 要：新课改明确要求教师必须在教学中逐步培养学生创新的意识和精神，因此构造和创新是数学教育始终培养的综合目标，构造能力也是学生必须具备的数学素养。这就要求学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决问题。构造法是属于非常规思维，其本质特征是“构造”。“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。从“构造函数”“构造方程”等常见构造多个角度举例说明应用构造法解题的基本构思途径。

关键词：构造法；函数；方程；解题

一、构造函数

例1.设x，y为实数，且满足关系式：

（x-1）3+1997（x-1）=-1（y-1）3+1997（y-1）=1

则x+y= 。

分析：此题若用常规解方程方法，分别求出x和y的值后再求x+y则非常困难，因为三次方程解法我们并不熟悉。如果我们注意到方程组中两个方程的结构非常相似，即（x-1）3+1997（x-1）= （1-y）3+1997（1-y）=1，我们应该能够想到构造函数f（t）=t3+1997t，所以f′（t）=3t2+1997>0。

解：构造函数f′（t）=3t2+1997，所以f′（t）=3t2+1997>0恒成立，

因此，函数f（t）=t3+1997t在R上为增函数，所以f（x-1）=f（1-y）=1，所以x-1=1-y，即x+y=2。

指出：此题利用函数的单调性与函数值的关系巧妙地得到两个未知量的等量关系，从而使问题迎刃而解。

二、构造方程

例2.已知p3+q3=2，求证：p+q≤2。

分析：此题条件是等式，结论是不等式，若直接从等式过渡到不等式比较困难，若我们把p+q看作一个整体变量，则pq就可以用这个变量表示，由韦达定理可以构造一个一元二次方程，这个一元二次方程的两个根分别为p和q，再根据判别式可求出p+q的范围。

解：设p+q=k，因为p3+q3=（p+q）（p2-pq+q2）=2>0，

而p2-pq+q2>0恒成立，

则p+q=k>0，根据条件易求得：pq=■

构造方程x2-kx+■=0，易知方程的两个根就是p和q，

所以判别式Δ=k2-■≥0，解得：k≤2，即p+q≤2。

指出：此题通过构造方程设法构造一个一元二次方程，使p和q以其系数或常数项的面目出现，再由Δ≥0得到不等式。

三、构造图形

例3.已知x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1。

分析：初看此题，不等式中含有三个变量，直接证明，比较棘手。我们仔细观察发现不等式的左边是三个两项积的和，两项的乘积联系几何中的知识就很容易联想到三角形的面积。

证明：构造等边三角形ABC，且边长为1，设P、Q、R分别为AB、BC、AC上的动点（不包括端点），设AP=x，BQ=z，CR=y，如图所示：根据三角形面积公式可得：

■

则S△APR=■AP·ARsin60°=■x（1-y）

S△CQR=■CR·CQsin60°=■y（1-z）

S△BPQ=■BQ·BPsin60°=■z（1-x）

又因为S△APR+S△CQR+S△BPQ

所以■x（1-y）+■y（1-z）+■z（1-x）<■

即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1

总之，构造法是一种富有创造性的思维活动，一种数学方法形式的构造决不是单一的思维方式，而是多种思维方式交叉融汇在一起共同作用的结果。构造的形式多种多样，还有构造向量、构造数列等，这里我们不再一一列举了。通过对以上例题的分析，不难看出，构造法对增强解题能力、培养思维品质有着不可低估的作用。数学的魅力在于追求简单，而解题中的巧妙构造，往往有化繁琐为简洁之功效，是对数学美最好不过的一次注释。

参考文献：

[1]管宏斌.构造对偶式的八种途径.数学教学，2005（07）.

[2]邵光华.数学思想方法与中学数学.北京：北京师范大学出版社，1999.

[3]宋玉连.构造法在解题中的应用刍议.连云港教育学院学报，1999（2）.

（作者单位 浙江省苍南县钱库高级中学）